Het volledige coördinatenstelsel

Het is gebruikelijk om punten met een hoofdletter te benoemen. Copunten benoemen we met een kleine letter. Binnen de vlakke meetkunde is het copunt een lijn. In de figuur hiernaast is het gele punt met coördinaten (1, 2) op de conventionele manier weergegeven in een cartesisch x-y-assenstelsel met de coördinaatlijnen x[1] en y[2].

Dit assenstelsel is uitgebreid met lijncoördinaten, waarvan de coördinaatpunten X(1) en Y(2) zijn aangegeven. De overige coördinaatpunten liggen op de x- en y-as. De indexnummers van deze punten worden gevormd door de stambreuken van de indexnummers van de coördinatenlijnen, waarmee ze samen vallen. Dit samenvallen wordt "incident zijn" genoemd.

De coördinaatpunten dienen om ook de lijn als gelijkwaardig ruimtelijk element te voorzien van coördinaten. Zo ligt de lijn [1, 2] op de punten X(1) en Y(2) en is de horizontale lijn [0, 2] incident met de punten Y(2) en X(0). Deze laatste coördinaat is geen eigenlijk punt, maar de richting(svector) λ(1, 0), die voldoet aan de eisen, die de postulaten van Euclides aan het begrip punt stellen. Dit is het positiestelsel van het standaardruimtemodel met de incidentierelatie
x · X + y · Y = 1

Dit betekent dat een lijn en een punt incident zijn, als hun coördinaten in dit stelsel voldoen voldoen aan deze incidentievergelijking. Zo kun je bijvoorbeeld nagaan dat lijn [3, 3] incident is met punt (1, 2). De lijn als functie is een puntenrij {(x, y)| ax + by = 1}. Deze puntenverzameling voldoet aan een eerstegraads- ofwel lineaire vergelijking, waarvan de constanten a en b kunnen worden opgevat als lijncoördinaten. Voor de snijpunten X en Y  met de x- en y-as geldt voor dit model:
X(a) = (1/a, 0) en Y(b) = (0, 1/b)


De ovalen van Cassini

Elke differentieerbare curve bezit een raaklijnenverzameling: een omhullende curve ofwel envelope. Als voorbeeld is hiernaast gegeven de gele curve. Dit is een bijzondere vorm van de cassinische curve. Deze vorm wordt ook wel de lemniscaat van (Jakob) Bernoulli genoemd, die in algemeen is gebruik als symbool voor het wiskundige begrip oneindig.

Cassinische curven hebben, zoals kegelsneden, twee brandpunten. In dit geval zijn dat de punten (-1, 0) en (1, 0). Elk punt in de vlakke ruimte ligt op een bepaalde afstand ten opzichte van deze brandpunten. Punten met een gelijk product van beide afstanden, vormen een cassinische curve. Op vergelijkbare wijze vormen punten met een gelijke afstandssom een ellips, bij een gelijk afstandsverschil ontstaat de hyperbool en bij een gelijke afstandsverhouding een (apollonische) cirkel.

Het afstandsproduct van de punten van de gele curve is gelijk aan 1. Het punt (0, 0) ligt op afstand 1 van beide brandpunten. Hoe zit dit met de snijpunten van deze cassinische kromme met de eenheidscirkel? Welke punten zijn dit? Wat zijn de coördinaten van de linker en rechter uitersten? Hoe construeer je de punten, die op afstanden 2 respectievelijk 1/2 t.o.v. de brandpunten liggen?

Een snijpunt van de gele curve met de eenheidscirkel is roze omcirkeld. De raaklijn in dit punt is geel gestippeld. Wat zijn de coördinaten van deze lijn? Een geel punt met dezelfde coördinaten ligt op de roze curve. Een bijzonder geval doet zich hier voor, waarin de roze gestippelde raaklijn van dit gele punt incident is met het roze punt. Beide raaklijnen vormen twee zijden van een witte driehoek. Deze driehoek lijkt de helft van een gelijkzijdige driehoek. Kun je dit ook bewijzen?

De roze curve is de ruimtelijke versie van de envelope van de gele curve. De lijnen van deze envelope zijn elementen van de vlakke coruimte. De gele en roze curven zijn duaal verwant. De vertaling van de gele puntcurve in de bijbehorende envelope is gedaan met de ionabrug van het standaardruimtemodel:
x · X + y · Y = 1

Een ruimtelijke ionabrug

Een willekeurig ruimtelijk oppervlak heeft een puntenverzameling {(x, y, z)} in de ruimte met een raakvlakkenverzameling {[X, Y, Z]} (envelop) in de complementaire vlakkenruimte. Is het oppervlak een differentiëerbare relatie tussen x, y en z, dan wordt ze vertaald in haar envelop met behulp van het blauwe stel vergelijkingen. Het rode stel vergelijkingen vertaalt de envelope terug naar het oppervlak. Onderaan staan de matrixnotaties.

Deze ionabrug is een standaard geval van de zelfduale incidentierelatie,
x · X + y · Y + z · Z = 1 
hoort bij de eenheidsbol en kan eenvoudig worden uitgebreid naar hogere dimensies.                 November 2021

De standaard ionabrug

Een willekeurige vlakke curve is een puntenverzameling {(x, y)} in de vlakke ruimte met een raaklijnenverzameling {[X, Y]} (envelop, omhullende) in de complementaire lijnenruimte. Geeft de curve een differentiëerbare relatie tussen x en y weer, dan wordt ze vertaald in haar envelope met behulp van het blauwe paar vergelijkingen. Het rode paar vergelijkingen vertaalt de envelop terug naar de puntcurve. Dit stel vergelijkingen behoort in dit geval bij de symmetrische incidentierelatie
x · X + y · Y = 1
en verbindt ruimte en co(-mplementaire)-ruimte met elkaar. We noemen het bijbehorend stel vertaalvergelijkingen de "ionabrug" van de eenheidscirkel. Zie links. De lijncoördinaatpunten X en Y liggen op de assen van het cartesische stelsel. De coördinaatgetallen daarbij zijn af te leiden als:
X = 1/x(X) en Y = 1/y(Y)
De poolcorrelatie definiëren we nu als (x, y) = (X, Y) ofwel [X, Y] = [x, y]. Combinatie van incidentierelatie met polariteit geeft de eenheidscirkel:
x · x + y · y = 1 met X · X + Y · Y = 1
Zie de voorbeelden in de lessen 7 en 8 van Wonderlijke Wiskunde
                  November 2021

Differentiëren van de incidentierelatie


Een verband tussen de puntcoördinaten sluit het grootste deel van alle punten buiten. De punten, waarvan de coördinaten wel een het gestelde verband voldoen, vormen met elkaar een curve. Als gevolg hiervan staan ook de lijncoördinaten van een incidentierelatie met elkaar in verband en vormen met elkaar de raaklijnencurve (cocurve, omhullende curve of envelop). Eigenschappen van curven en cocurven komen door differentiëren aan het licht.
Differentiëren van de puntcoordinaten speelt zich op de raaklijn af. In dit geval gedragen de copuntcoördinaten zich als constanten.
Differentiëren van de copuntcoordinaten speelt zich af op het raakpunt. In dat geval gedragen de puntcoördinaten zich als constanten.

De incidentievergelijking van het standaard ruimtemodel  
x · X + y · Y = 1  laat zich impliciet differentiëren naar x tot  X + Y · d(y)/dx = 0
Deze twee vergelijkingen leiden tot het blauwe stel van de standaard ionabrug. Differentiëren naar X leidt tot het rode stel.

De incidentievergelijking van het algemene zelfduale ruimtemodel is
axX + byY + c(xY + Xy) + d(x + X) + e(y + Y) = n
Differentiëren naar x leidt tot:
d(y)/dx = -(aX + cY + d)/(bY + cX + e)
Deze twee vergelijkingen leiden tot het deel van de algemene zelfduale ionabrug, dat curven vertaald in hun cocurven. Differentiëren naar X levert het deel van de ionabrug, dat cocurven vertaald in hun curven.
Een voorbeeld van een niet-zelfduale incidentievergelijking is x - X = y · (Y - X)

Het algemene ruimtemodel

Puntcoördinaten zijn waaiers van parallelle lijnen, die de richting hebben van de assen van een cartesisch coördinatenstelsel. Het vlak heeft een x-lijnenwaaier en een y-lijnenwaaier.
Lijncoördinaten zijn puntenrijen, gelegen op de assen van een cartesisch coördinatenstelsel. Het vlak heeft een X-punterrij en een Y-puntenrij.

Het punt (x, y) en de lijn [x, y] zijn partnerelementen, omdat ze elkaars coördinaatgetallen hebben. Poolpartners zijn partnerelementen van een zelfduale (symmetrische) incidentierelatie. Een ruimtemodel wordt bepaald door zijn incidentierelatie:
Binnen een zelfduaal ruimtemodel ligt
het X-coördinaatpunt van de lijn [X, Y] op het punt
((n - dX - eY)/(aX + cY + d), 0)
Het Y-coördinaatpunt van de lijn [X, Y] ligt op het punt
(0, (n - dX - eY)/(cX + bY + e))
De pool van de lijn [X, Y] is het partnerpunt (X, Y).
DJA, november 2021

Een schijnbare discontinuïteit

De takken van de hyperbool zijn gescheiden door het oneindige,. Deze kegelsnede zou "euclidisch gesproken twee discontinuïteiten" moeten bevatten. De hyperbool kan bij nader inzien toch tot de continue curven worden gerekend. De kwestie van de euclidische (on)bereikbaarheid van het oneindig verre wordt hieronder met behulp van de ionabrug belicht.

De rechter afbeelding toont in blauw de hyperbool (x – 2)2 - y 2 = 1 met haar raaklijnenverzameling {[X, Y] | 3X 2 + Y 2 – 4X = –1}. Alle raaklijnen zijn (gedeeltelijk) in beeld. Je zou een discontinuïteit kunnen verwachten bij de asymptoten, maar [-1/2,1/2] en [1/2,1/2] voldoen aan de raaklijnvergelijking. De puntenverzameling {(x, y) | 3x 2 + y 2 – 4x = –1} vormt bovendien de gesloten gele ellips.

Dit betekent dat de envelope van de hyperbool een continue cocurve is, waaruit blijkt dat ook de curve continu is. "Oneindig verre punten" spelen hierbij geen rol en zijn ook niet nodig voor continuïteit. De continuïteit wordt hier geleverd door de richtingen van beide asymptoten. Een richting voldoet aan de eisen, die de postulaten van Euklides aan het begrip punt stelt. De richting van een asymptoot treedt met axiomatische permissie op als punt.        November 2021

De oersprong als raaklijn

Parabolen vormen binnen de kegelsneden de overgang van ellipsen naar hyperbolen. Maar wat onderscheidt hen precies?
Ook hierover laat de ionabrug haar  licht schijnen. 

De lijnenverzameling {(X, Y) | Y = -X 2/4} is de envelope van de standaardparabool {(x, y) | y = x 2}. Bij gevolg raakt de oersprong [0, 0] aan deze parabool. Voor de overige parabolen blijkt hetzelfde te gelden. Ze kunnen allen als een gelijkvormigheidstransformatie van de standaardparabool worden gezien. Gelijkvormigheidstransformaties beelden de oersprong op zichzelf af.

De lijn [0, 0] omvat alle richtingen en ligt niet buiten beeld, maar kan euclidisch uitsluitend zichtbaar worden weergegeven als een (continue) waaier van vrije vectoren. Dit verklaart terloops de kracht van lineaire algebra en de vectormeetkunde, die niet alleen beschikken over de plaatsgebonden vector x, overeenkomend met een eigenlijk punt, maar ook over de vrije richtingsvector λx, overeenkomend met een richting.    November 2021

Tabel van raaklijncurven


Raaklijncurven worden in het Engels 'envelopes' genoemd.

Evolute


In elk punt van een curve kan gewoonlijk een lijn worden gevonden, die loodrecht ligt op de raaklijn in dat punt. De verzameling van deze loodlijnen is de (raaklijnenverzameling van de) evolute van de curve. Worden de curve en de evolute in hetzelfde coördinatenstelsel uitgedrukt in x en y respectievelijk v en w, dan wordt met behulp van de ionabrug gevonden dat
v = x - (1 + y' · y') - y'/y''
en w = y + (1 + y' · y')/y'',
waarbij y'=d(y)/dx en y''=d(y')/dx.

De evolute van de parabool y = xx is de gele curve in de rechter figuur: de semi-kubische parabool. Het doornpunt ('cusp') van deze curve is het brandpunt van de parabool. 
De evolute van de cirkelbundel x · x + y · y = c is het punt (0, 0).

Onderstaande figuur toont de blauwe evolute van de ellips x · x + 4y · y = 4. Deze evolute heeft 4 doornpunten.
DJA 8 april 2022

Involute


De wiskundige begrippen evolute en involute zijn in 1673 door Christiaan Huygens (1629-1695) geïntroduceerd naar aanleiding van zijn onderzoek om de slingertijd van zijn pendelklok, onafhankelijk te maken van de pendeluitslag met behulp van 'wangen', die pendel QP inkorten tot RP tijdens de uitslag. Met deze pendelklok werd de dagelijkse tijdmeting een stuk nauwkeuriger.

Maak punt Q van een niet-elastisch touw denkbeeldig vast aan een curve ('de wang'), pak het touw bij een tweede punt P vast en wikkel het strak tegen de curve. Punt P maakt een baan naar de curve en zou er eventueel op kunnen eindigen. Deze 'inwikkel'-baan heet de involute of evolvente. De 'wang' is de evolute van deze involute.

Omgekeerd vertrekt een involute van een evolute door het denkbeeldige touw aan punt P strak af te wikkelen, totdat het punt R loskomt. De lengte RQ van het touw verandert in een raaklijnstuk van dezelfde lengte. De raaklijnverzameling van de oorspronkelijke curve snijdt het involutespoor steeds loodrecht in punt P. Het punt R verbindt de raaklijn vanuit P met de evolute. Deze raaklijn snijdt de involute loodrecht in P.

Elke tweevoudig differentieerbare curve heeft één evolute en een oneindige bundel involutes.