Iona Stichting in 2021



Tot mijn verrassing lag gisterochtend een envelop met het jaarverslag van de Iona Stichting op mijn deurmat. Ik was vergeten dat ik een maand eerder gebeld was met de mededeling dat men Wonderlijke Wiskunde als een van de zeven gesteunde projecten wilde uitlichten in het jaarverslag. 156 Projecten op de terreinen pedagogie, wetenschap, jongeren, landbouw & voeding, gezondheidszorg, maatschappij en cultuurzijn in 2021 gesteund. Wat een activiteit, geweldig!

Ik zag dat "Wonderlijke Wiskunde" onder de noemer onderwijs was geplaatst. Leservaringen maken duidelijk dat leerlingen in korte tijd zeer positief reageerden op de gegeven lessen. Er ligt een fantastisch potentieel, dat op leerlingen van divers niveau verder toegesneden kan worden. Omdat ik niet geheel zeker was of mijn onderzoekingen, naar wat Rudolf Steiner, werkend vanuit een diep inzicht in de mens, met het woord Gegenraum bedoelde, in een andere richting zouden gaan, heb ik voorzichtigheidshalve het woord coruimte gebruikt. Tot op heden is dit coruimtebegrip niet afwijkend en wel wiskundig en ook didactisch zeer vruchtbaar gebleken.

Over toepasbaarheid in de biologie verwijs ik de lezer naar uitlatingen van de denker zelf. Hier liggen nog uitgestrekte toepassingsgebieden voor de wiskunde braak, die zijn aangeduid door Steiner. De redactie van de Iona Stichting weet hiervan en schrijft "antroposofische wiskunde". In mijn ogen bestaat die niet. Het gaat hier om kennisgebieden, die na ontginning, algemeen eigendom van de mens zijn, al is er wel vanuit antroposofische hoek voor het eerst op gewezen en serieus aan gewerkt.

Volgens mij wordt bedoeld de "Projektieve Geometrie"(*), waarover Rudolf Steiner sprak en dat vanouds in het vrije school curriculum is opgenomen. In periode van twee weken wordt dit onderwerp in klas 11 behandeld. Dit is uniek voor het middelbaar voortgezet onderwijs, maar naar mijn smaak nog te weinig en teveel ineens om tot bloei te komen. De leerling heeft veel meer tijd nodig om thuis te raken in een nieuwe manier van denken. De heilzame werking van dit onderwerp ontplooit zich pas bij integratie in de leerlijn van begin tot eind, van de zevende tot en met de twaalfde klas.

De projectieve meetkunde is, zoals elders in deze site is uitgelegd, de gemeenschappelijke basis van de euclidische (parabolische), hyperbolische en elliptische meetkunde en staat als zodanig niet buiten de gewone (euclidische) schoolmeetkunde.

Wel kan gezegd worden dat in de afgelopen honderd jaar de grootste inspanningen op dit gebied vanuit de hoek van de antroposofie zijn geleverd; voornamelijk Duitstalig. Daarbuiten wordt door velen vaak lauw gereageerd op een "stoffige onderwerp". Gelukkig zijn er ook uitzonderingen, zoals Hans Finkelnberg en Bas Edixhoven van de Universiteit Leiden en Hendrik van Maldeghem van de universiteit van Gent. Tot mijn verdriet is Bas in januari overleden. Ik denk met bewondering aan hem en prijs me gelukkig dat hij enthousiast in november vorig jaar heeft deelgenomen aan de workshop "Wonderlijke Wiskunde" voor wiskundeleraren in Veenendaal .


Het project kon met hetzelfde recht het etiket wetenschap krijgen. De bezoeker, die thuis is in de wiskunde, zal zien dat de site nu al een aantal grensverleggende onderzoeksresultaten laat zien, zoals het volledige coördinatenstelsel, partnerelementen, de zelfduale incidentierelatie, de ionabrug en de axiomatische ontsluiering van de richting van een lijn als een punt van die lijn, de richting van een vlak als een lijn van dat vlak en de richting van een ruimte als een vlak van die ruimte. We zeggen dan ook dat niet alleen lijnen, maar ook vlakken en ruimten parallel kunnen zijn.

Het doet me goed, dat werk van de afgelopen 10 jaar vrucht begint te dragen.
Wageningen, 5 juni 2022, Dirk (Jan) Adrichem
(*) De vertaling is hieronder te downloaden.
Projektieve Meetkunde AntroWiki.pdf

Wiskunde aan de Volksuniversiteit


Het verschijnsel volksuniversiteit bestaat ruim honderd jaar in Nederland. In 62 steden vind je er een: Alkmaar, Almere, Alphen aan de Rijn, Amersfoort, Amstelveen, Amsterdam, Arnhem, Baarn, Barneveld, Best, Bilthoven, Boekel, Breda, Bussum, Culemborg, Delft, Den Bosch, Den Haag, Den Helder, Doetinchem, Eersel, Enschede, Eindhoven, Geldrop, Gorinchem, Gouda, 's Gravenzande, Groningen, Haarlem, Helmond, Hengelo, Laren, Leeuwarden, Leiden, Leiderdorp, Lisse, Losser, Middelburg, Nijmegen, Nunspeet, Oegstgeest, Oss, Papendrecht, Rotterdam, Ter Aar, Teylingen, Tilburg, Utrecht, Veenendaal, Venlo, Waalre, Wageningen, Westland, Westvoorne, Woerden, Ijmuiden, Zevenaar, Zoetermeer, Zuidlaren, Zwolle. Het landelijk cursusaanbod van de volksuniversiteit is voornamelijk alfa-gericht: talen (1424), creatief (494), kunst en cultuur (226), persoonlijke ontwikkeling (197), bewegen en welzijn (182), mens en maatschappij (172), culinair (80), ict (71), wetenschap en techniek (34), doe het zelf (0). Wiskunde behoorde tot nu toe nog niet tot het aanbod. Ervaringen tot nu toe buiten de volksuniversiteit waren gunstig.
In december 2022 heeft de Volksuniversiteit Wageningen een primeur met 2 lesavonden
Wonderlijke Wiskunde.

Voorwoord
Het spoor van de wiskunde 1


Deze website is een verslag van mijn omzwervingen in het landschap van de wiskunde. Aanvankelijk had ik geen enkele ambitie, maar ook niet genoeg kennis van zaken om iets over wiskunde te schrijven. Dat veranderde in 2012 met het lezen van het boek Lessen in Projectieve Meetkunde van Martin Kindt. Dat lijnen coördinaten zouden kunnen hebben, was nooit in me opgekomen. In mijn middelbare schooltijd kon ik voor wiskunde met flinke inspanning achten halen, terwijl anderen, klasgenoten als Bregt en Jos Remijn, negens haalden, naar het toen leek moeiteloos. Het woord lijncoördinaat - niet te verwarren met coördinaatlijn - is bij mijn weten in die jaren niet gevallen. Docent Rijnhart leerde ons de lijn als lineaire vergelijking te beschouwen, getallenparen uitgebeeld in de grafiek van een puntenrij. Niemand kwam op de gedachte om te vragen of de lijn überhaupt wel een puntenrij is of dat een lijnenwaaier niet met evenveel recht een lineaire vergelijking is. We gebruikten de abstracte, maar degelijke, Van A tot Z serie van Van Hiele, waarvan deel 6Vb aan het einde tot mijn verwondering projectieve meetkunde noemt en spreekt van symmetrie binnen de vergelijking van de poollijn. Maar dit deel was voor Wiskunde II, dat ik had laten vallen.

Het spoor van de wiskunde 2


Wat bij het doorbladeren van de Van A tot Z-reeks opvalt is hoe de serie op de eerste bladzijde van deel 1a (voor het brugjaar!) met de deur in huis valt. Les 1: Origineel en beeld. Les 2: Functies. Les 6: Getallenrechte en nomogram. Les 7: Het samenstellen van functies; translatie op de getallenrechte. Les 8: Grafieken. Les 9: Lijnen en coördinaten. Enzovoort. Zuivere wiskunde; geen voorbeelden, geen hurktoon met "Marcel en Tineke ...". De inleiding van deel 1a vermeldt: "... De negatieve getallen worden niet alleen op de gebruikelijke wijze ingeleid, maar (vooral) ook met behulp van zeer eenvoudige translaties ter inleiding van het vectorbegrip. ... Het oplossen van vergelijkingen geschiedt door middel van functies. Het "terugrekenen" van beeld naar origineel geeft immers de oplossing van de vergelijking. Vandaar dat de inverse functie is ingevoerd. ... De methode is uiteraard aangepast aan de moderne inzichten in de wiskunde. Het begrip afbeelding is centraal geplaatst, zowel in de algebra (functie) als in de meetkunde (meetkundige transformatie). Het begrip verzameling wordt tijdig ingevoerd en in de leerstof verwerkt. In de meetkunde worden al spoedig de coördinaten ingevoerd en in de algebra wordt al zeer vroeg met grafieken gewerkt".

Het spoor van de wiskunde 3


Een wiskundestudie leek me te hoog gegrepen, ik koos biologie en landde in Wageningen, waar ik me in de biologisch-dynamische landbouw verdiepte. Bij Bob Siepman van den Berg genoot ik in het practicum Fenomenologie van het onderdeel Projectieve Meetkunde. Dit plezier noch de 10- voor Lineaire Algebra of de 9 voor Wiskundige Analyse, brachten me op de gedachte dat ik misschien toch wel iets met wiskunde had. Tien jaar geleden greep ik bij wijze van afleiding naar mijn oude wiskundeboeken van Bob van Rootselaar. De lessen van Norman Wildberger op internet zetten me weer op het spoor van de projectieve meetkunde en ik kocht het boek van Kindt.

Het spoor van de wiskunde 4


De afgelopen jaren heb ik bij veilingmeester Jos Remijn van het Wereld Wiskunde Fonds tussen de vier- en vijfhonderd fantastische boeken uit de afgelopen 150 jaar aangeschaft, waarmee ik mijn wiskundig en historisch begrip op peil breng. Robert-Jan van Egmond en ik schreven in 2020 het boekje Wonderlijke Wiskunde (-->), dat mijn wiskundelessen aan hoogbegaafde kinderen van 2019 tot 2021 samenvat. Ook bij het tot stand komen van dit boekje heeft Jos Remijn geholpen. In 2021 mocht ik een goed ontvangen workshop Wonderlijke Wiskunde (-->) geven tijdens de studiedag van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren in het Ichthuscollege in Veenendaal. Komend najaar heeft de Volksuniversiteit Wageningen me voor 6 uren ionawiskunde ingeroosterd. Afgelopen najaar heeft de ionastichting te Amsterdam de kosten van deze website voor 8 jaren samen met de oprichtingskosten van de stichting ionawiskunde betaald. Naar haar eigen zeggen met veel genoegen. Dat voelde wel even als een erkenning voor het resultaat van mijn jarenlange werk!

Deze webpagina bevat een inleiding op centrale thema's als dualiteit en coruimte. Verder bevat deze pagina historisch-biografische informatie, aangevuld met enkele inleidende constructies en formules. Er wordt nog volop gewerkt aan de site. Veranderingen en aanvullingen vinden voorlopig dagelijks plaats.         DIrk (Jan) Adrichem, 8 januari 2022

Dualiteit in de wiskunde


Een centraal thema van deze website is dualiteit, een begrip, waarvan aangenomen werd dat het aan de projectieve meetkunde voorbehouden was. Deze meetkunde heeft een hoge vlucht genomen in de loop van de negentiende eeuw, maar is halverwege de twintigste eeuw uit de mode geraakt. De huidige onbekendheid met deze meetkunde brengt met zich mee, dat men aanneemt dat het buiten de euclidische meetkunde valt en zich niet realiseert dat het er een onderdeel van is. De schoolmeetkunde is vanouds euclidische meetkunde, alsof er niets anders bestaat. Ook in de negentiende eeuw is ontdekt dat de euclidische meetkunde een grensgeval (*) van de hyperbolische meetkunde is. Deze meetkunde ontstaat bij een variatie van het vijfde postulaat van euclides. Toch is ook hier weer de projectieve meetkunde actief, zoals het parabolisch-euclidische model van Klein van de hyperbolische meetkunde laat zien. Zie hier bij het (duaal-)hyperbolische postulatenstelsel.

(*) Dit feit biedt de gelegenheid om conservatisme tegemoet te komen en voorlopig te spreken van dualiteit in de parabolische meetkunde.

Dualiteit in de parabolische meetkunde 1


Op 6 november 2021 tijdens de studiedag over diversiteit van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren is een workshop "Wonderlijke Wiskunde" gegeven in het gebouw van het Ichthus College te Veenendaal. In deze workshop zagen de deelnemers dat dualiteit zich niet afspeelt buiten de parabolische meetkunde, maar een hoofdstuk binnen het euclidische boek is. Dit kon worden uitgelegd door voorbij de metrische begrippen - hoek en afstand - van de parabolische meetkunde eens goed naar de incidentiepostulaten van Euclides te kijken. Voor een samenvatting van de workshop, zie Wonderlijke Wiskunde.

Verder werd in de workshop aangegeven dat het gebruikelijke "creëren van een projectief vlak door toevoegen van oneindige ofwel oneigenlijke punten aan het euclidische vlak" niet mogelijk is. Je kunt niet toevoegen wat er al is, in dit geval de richtingen. Het begrip richting heeft de stoel van het oneigenlijk punt al bezet, omdat het voldoet aan de eisen die de 5 vlak-meetkundige postulaten van Euclides stelt aan het begrip punt. "Toevoeging van oneindige punten aan het euclidische vlak" getuigt van willekeur. 

Dualiteit in de parabolische meetkunde 2


Herbert Meschkowski zegt in "Vorderungen an ein Axiomensystem" (1965) dat Hilbert niet in willekeurige axiomastelsels gelooft, maar eist dat:
Grondstellingen onderling en op zich vrij van tegenspraak zijn
Grondstellingen noch begrippen cirkelgang vertonen
Het stelsel volledig is
De tweede en derde eis bezegelen het lot van het "oneigenlijke" ofwel "oneindige" punt. Deze laatste twee woorden zijn immers synoniem met "richting". Zowel twee punten als een punt en een richting, als twee richtingen zijn incident met één lijn. In het laatste geval is een (onzichtbare) lijn per definitie incident met alle richtingen. "Projectieve meetkunde" is zo gezien een algemeen hoofdstuk in zowel het parabolische boek als het hyperbolische boek. Veralgemening is kenmerk en doel van wetenschappelijke voortgang.

Een volgende pagina legt uit, dat de begrippen afstand en hoek voor een belangrijk deel op de incidentiepostulaten rusten.
                  D. J. Adrichem, december 2021

Levende Wiskunde


In het besluit van het proefschrift "Grondslagen der aanschouwelijke meetkunde" uit 1952 van J. J. W. Berghuys staat op pag. 217:
"We hebben ernaar gestreefd, om niet te redeneren vanuit een vooropgezette denkwijze, maar om de levende wiskunde zelf te laten spreken, zoals ze organisch is gegroeid door het gemeenschappelijke werk van vele onderzoekers..
We hebben ook getracht de levende wiskunde te laten spreken, zoals ze als een proces tot stand komt in ieder individu. Het bleek, hoe de wiskunde, wel onderscheiden van de empirische kennis, toch uit waarneming zich ontwikkelt onder de dynamische kracht van de menselijke geest.
Het laatste fundament kon niet anders zijn dan een inzicht, een intuïtie, niet in een op zichzelf staande waarheid, maar in de mogelijkheden, waarlangs de empirische gegevens zich door ons laten schematiseren. Dit inzicht blijft niet beperkt tot het een aritmetisch schema, maar betreft ook ruimtelijke vormen. Aldus krijgt naast de rekenkunde ook de aanschouwelijke meetkunde binnen de wiskunde haar plaats, terwijl tevens bleek, hoe de formalistische opvatting in principe met de intuïtionistische grondstellingen kon worden verzoend."

Wat mij aanspreekt in deze filosofische kijk is de insteek, waarmee wiskunde niet alleen gezien wordt als een levend (intuïtief) en ook dood (formeel) product van de menselijke geest - dat geldt immers voor elke wetenschap -, maar daarbij is beperkt tot en gericht op de menselijke binnenwereld van het denken en niet op natuurlijke fenomenen van de buitenwereld.

Vergelijkbaar met Berghuys, zie ik op dit moment de wiskunde als een geesteswetenschap, die historisch en pedagogisch wordt ontwikkeld als reflectie op gedachten over getal en ruimte.

De vraag is vervolgens waardoor de mens überhaupt wiskundig kan reflecterenDaarover bestaan interessante ideeën. Wiskundige ideeën van getal en ruimte zouden zich in de mens manifesteren naar aanleiding van zintuiglijk waargenomen fenomenen en voorgebracht worden met behulp van een - hier door mij hypothetisch gesteld - vormkrachtenlichaam, dat vanaf de tandenwisseling geleidelijk de handen vrij krijgt om naast de vormgeving van het lichaam zich toe te leggen op wiskundig denken. Dit vormkrachtenlichaam bezit een of andere ruimtelijke intelligentie, die de bron van het wiskundig denken verklaart. Deze gedachte veronderstelt kennelijk een dualiteit van geest en materie, vergelijkbaar met de energie-materie-dualiteit. In laatste instantie zou zelfs materie een zijnsvorm van geest kunnen zijn. Deze kwestie reikt uiteindelijk zo diep, dat ik niet verwacht er binnen afzienbare tijd met zekerheid over te kunnen schrijven.

Een opmerkelijk beeld komt tevoorschijn van de wiskunde als exacte geesteswetenschap, in tegenstelling tot het ouderwetse beeld van een soort natuurwetenschap. Als praktische aanwijzing kan worden geconcludeerd dat de didacticus niet met reken- en wiskundelessen hoeft te beginnen voordat de leerling aan de tandenwisseling toe is. Deze periode komt overeen met de stelregel van van Hiele, dat reken- en wiskundeles zinloos en zelfs nadelig is, vóórdat een kind de leeftijd bereikt, waarin het aantallen, van drie en meer, als grootten kan vergelijken.
DJA, 15 maart 2022