Verlichting voor donkere decemberdagen


Onderstaand pdf-bestand bevat de constructie van Jacob Steiner (1826)

Hierin worden de aanknopingspunten (letterlijk) gegeven door

 2+5*3=17 zichtbare en 3 verborgen drietallen van concurrente lijn(stukk)en
Malfatti (1).pdf

Nieuw

Aan het bestand hieronder wordt nog volop gewerkt
Toch is er voor belangstellenden al veel in te vinden
Vragen en opmerkingen zijn welkom


vectoren en covectoren (12).pdf
Contact

Terugblik op de Kandinsky Masterclass
van 12 en 14 oktober 2022
"Perspectief tekenen en projectieve meetkunde"
docenten: Robert van Egmond en Dirk Adrichem

Halvering en verdubbeling


De masterclass bevatte uitdagende opdrachten, waaronder twee constructietekeningen: "Zet de voor- en zijaanzichten van een huis en een erepodium in een perspectiefafbeelding, waarvan de horizon gegeven is."


Met behulp van diagonalen en hun verdwijnpunten werden afstanden gehalveerd of verdubbeld.

Parabool in perspectief


De parabool y=xx kan in perspectief de gedaante van een cirkel aannemen.

Speels onderzoek van de kegelsneden door snijding van tafel, muur en plafond met de lichtkegel van de zaklamp liet zien dat cirkel, ellips, parabool en hyperbool  continue transformaties van elkaar zijn en dat rechte lijnen, punten en hun incidentie behouden blijven (invariant zijn).

De elementen
lijn en punt
en hun incidentie


Les 1 uit "Wonderlijke Wiskunde" maakt duidelijk dat lijn en punt hun elementaire rol ontlenen aan het feit dat ze verschijnen als ontaarde grensvormen (oneindig groot en oneindig klein) van een gesloten curve, zoals b.v. de cirkel.

Pappos: "De 3 kruisverbindingen van 2 drietallige puntenrijen zijn collineair."

Pappos duaal: "De 3 kruisverbindingen van 2 drietallige lijnenwaaiers zijn concurrent."

Er werd precies getekend en het resultaat was overtuigend. 1 Leerling moest haar tekening wel met 2 A3-vellen en 2 A4-vellen uitbreiden om de constructie te maken. In de pauze leefde men zich spontaan uit in vrije perspectief-tekeningen.

Lijnenwaaiers en puntenrijen


Een lijnenwaaier is een verzameling concurrente lijnen, d.w.z. incident met een gemeenschappelijk punt:
het centrum van de lijnenwaaier
Een puntenrij is een verzameling collineaire punten, d.w.z. incident met een gemeenschappelijke lijn:
de as van de puntenrij

Met de oefening uit de derde les van het boekje "Wonderlijke Wiskunde" met congruente puntenrijen gaf opvallend veel mooie parabolen. De cirkels uit de tweede les met congruente lijnenwaaiers kwamen wonderlijk genoeg moeizamer tot stand.

Met behulp van Geogebra legde Robert stap voor stap de constructie van Jacob Steiner uit. Deze toepassing van de stelling Pappos gebruikt hoeken noch afstanden, maar werkt uitsluitend met lijnen, punten en hun incidentie. De cirkel ontstaat hierbij uit twee drietallige lijnenwaaiers. De parabool ontstaat uit twee drietallige puntenrijen.