In de middeleeuwen en
daarvóór leek men zich niet alleen bewust te zijn van een materiële wereld,
maar ook van het belang en bestaan van een geestelijke wereld. De latere
emancipatie van de geestelijke wereld, die zich in de kunst openbaart als het oog
voor perspectief, wordt door Dijksterhuis beschreven in "De
mechanisering van het wereldbeeld". Net als andere vormen van emancipatie
heeft dit een prijs. Emancipatie brengt namelijk verantwoordelijkheid met zich mee op het terrein, dat verzorgd werd door degene/datgene, waarvan men zich emancipeert. Dat er met geestelijke krachten, zoals
E = mc2, niet te spotten valt, weten we.
Girard Desargues (1591-1661) was born on the 21 of February 1591 in Lyon, to a wealthy French aristocrat. His father was a notary public for the crown. The most famous work of Desargues is the field of geometry. Rough draft for an essay on the result of taking plane sections of a cone was printed only in small quantities in 1639.
Desargues Theorem, an approach to Projective Geometry through the study of figures and shapes, is an acknowledged and improved version to the work of previous contributors such as Pappus and Apollonius and a continuation of the Euclidean Geometry.
With this Mathematical statement publication, he was able to introduce his unique form of Geometry, “The Desargues Theorem,” into Mathematics, which motivated the development of Projective Geometry in the first quarter of the 19th century by another French mathematician, Jean-Victor Poncelet. This feat has made many regard Desargues has the founder of Projective Geometry. Bron: The Story of Mathematics
Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, 19 juni 1623 – Parijs, 19 augustus 1662) was een Franse wis- en natuurkundige, christelijk filosoof, theoloog en apologeet. Pascal was een katholiek, die ook een grote invloed heeft gehad op het protestantisme.
Zijn belangrijkste bijdragen op het vlak van de wis- en natuurkunde zijn:
Als christelijk denker wordt Pascal vooral gezien als de apologeet (verdediger) van deopenbaring. Hij stelt met klem dat de rede haar eigen grenzen moet kennen en dat zij moet buigen voor de door God gegeven werkelijkheid. Ter bekostiging van een weeshuis bedacht hij de eerste vaste koetslijn voor openbaar vervoer in Parijs. Bron: Wikipedia
Johann Heinrich Lambert (Mulhouse, 26 augustus 1728 – Berlijn, 25 september 1777) was een Duits-Zwitserse wetenschapper. Hij was behalve wiskundige ook astronoom, natuurkundige en filosoof.
Van oktober 1757 tot juni 1758 verbleef Lambert met twee leerlingen, van wie hij in het Zwitserse Chur de huisleraar was, in Utrecht en maakte vandaar reizen naar Den Haag, waar de uitgever van zijn eerste boek Route de la lumière gevestigd was, Rotterdam, Leiden, voor een bezoek aan Pieter van Musschenbroek, Gouda, Amsterdam en Zeist, naar de Hernhutter-gemeenschap.
In 1758 verscheen Route de la lumière, een weerboek. Hij maakte daarin gebruik van symbolen die hij overgenomen had van middeleeuwse astronomen. Dergelijke symbolen werden in de 18e eeuw op grote schaal gebruikt en zijn de voorlopers van de moderne weerkaartsymbolen.
Lambert was de eerste die onomstotelijk bewees dat het getal π (pi) een irrationaal getal was, dat wil zeggen niet als een breuk kan worden geschreven
Lambert bouwde de eerste practisch bruikbare hygrometer. In 1760 verscheen zijn boek over fotometrie, de Photometria. Uitgaande van de veronderstelling dat licht zich rechtlijnig beweegt, toonde Lambert aan dat de belichting van een oppervlak recht evenredig was met de sterkte van de lichtbron en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tussen lichtbron en beschenen oppervlak en de sinus van de hoek tussen de lichtstralen en het oppervlak, de Lamberts cosinuswet. De resultaten werden ondersteund door waarnemingen: de visuele vergelijking van de luminantie en de uitgevoerde berekeningen.
In Photometria formuleerde Lambert ook de wet van lichtabsorptie, de Wet van Lambert-Beer en introduceerde hij het begrip albedo.[1] Lambertreflectie, ook geïntroduceerd in Photometria is naar hem genoemd.
Lambert schreef ook een klassiek geworden boek over lijnperspectief en heeft bijgedragen aan de geometrische optica. Bron: Wikipedia
Poncelet
(1788 - 1867)
was de grondlegger van de projectieve meetkunde, een tak van de wiskunde waarin in de 15e eeuw in het bijzonder door Desargues al successen waren geboekt. De tijd van Poncelet is een tijd waarin de absoluutheid van de meetkunde van Euclides aan de orde was. Die 'absolute' meetkunde werd tot die tijd als enige mogelijkheid voor de vlakke meetkunde gezien. De pogingen in die tijd om het zogenaamde parallellenpostulaat van Euclides te bewijzen uit de andere vier postulaten leidde tot verrassende resultaten. Voor het eerst in 2000 jaar was men weer ontdekkend met de meetkunde bezig. In de negentiende eeuw zijn er dientengevolge verschillende meetkunden ontstaan, waarvan een aantal niet overeenkwam met de resultaten van die van Euclides.
Die zogenoemde niet-euclidische meetkunden, met voortrekkers als Bolyai en Lobashevski (en Gauss), werden in die tijd ontwikkeld en toegepast in onder meer de relativiteitstheorie van Einstein, in het begin van de twintigste eeuw. Poncelet hield zich met één van die bijzondere meetkunden bezig, een zuiver synthetische benadering van de meetkunde van de (centrale) projecties.
Naarmate zijn resultaten echter steeds verder kwamen af te staan van de ontwikkelingen in die tijd, die vooral gericht waren op de verdere ontwikkeling en toepassing van de algebra in de meetkunde, in gang gezet door Descartes, kreeg hij steeds meer conflicten met Gergonne en Cauchy en trok hij zich meer en meer terug in zijn oorspronkelijke aandachtsgebied, het construeren van machines.
Van 1825 tot 1835 was hij professor in de mechanica aan de École d'Application in Metz. Hij paste daar wiskunde bijvoorbeeld toe op de verbetering van turbines en waterraderen.
Chasles (1793-1880) nam zijn werk in de projectieve meetkunde over en breidde dit uit tot de moderne projectieve meetkunde. Sommige bronnen noemen Chasles dan ook wel de aartsvader van de projectieve meetkunde in plaats van Poncelet.
Verder was Poncelet een aanhanger van het principe van continuïteit, dat hij nodig had om zijn oneigenlijke punten en oneigenlijk rechte te kunnen verantwoorden. Het principe van continuïteit zegt in dit geval: twee lijnen snijden elkaar altijd, behalve als ze evenwijdig zijn, maar de verandering van niet-evenwijdig naar evenwijdig is een zo kleine verandering dat de eigenschap 'snijden' daardoor niet zal veranderen. Aan dat principe kleefden natuurlijk nogal wat bezwaren die Poncelet in zijn "Traité ..." ook wel voorzag, maar niettemin vond hij het gerechtvaardigd dit principe te gebruiken om zijn wiskunde verder te ontwikkelen. Het principe van continuïteit speelt bij die ontwikkeling voortdurend een rol.
Gergonne (1771 - 1859) was de eerste wiskundige die het woord polair gebruikte. In een reeks artikelen vanaf 1810 ontdekte hij het principe van de dualiteit in de projectieve meetkunde. Hij merkte op dat elke stelling in het vlak, dat punten en lijnen verbindt, overeenkomt met een andere stelling waarin punten en lijnen zijn verwisseld, op voorwaarde dat de stelling geen metrische begrippen bevat. In 1816 kwam hij met een elegante oplossing voor het raakprobleem van Apollonius: het vinden van een cirkel die drie gegeven cirkels raakt. In de driehoeksmeetkunde is het Punt van Gergonne naar hem genoemd.
In 1813 schreef Gergonne een prijswinnend essay voor de Academie van Bordeaux, "Methoden voor synthese en analyse in de wiskunde", tot op de huidige dag ongepubliceerd en alleen bekend van een samenvatting. Het essay geeft een duidelijk beeld van Gergonnes filosofische ideeën. Hij riep om de woorden analyse en synthese voortaan niet meer te gebruiken omdat deze woorden volgens hem geen duidelijke betekenis hebben. Op een moment dat de abstracte algebra nog bijna alleen bestond uit de elementaire algebra van het reële veld, verkondigde hij, toch ietwat verrassend voor een meetkundige, dat algebra belangrijker is dan meetkunde. Hij voorspelde dat er een tijd zou komen dat quasi-mechanische methoden zouden worden gebruikt bij het ontdekken van nieuwe resultaten. Bron: Wikipedia
Möbius is vooral bekend door zijn ontdekking van de naar hem genoemde Möbiusband: een tweedimensionaal oppervlak ingebed in de driedimensionele euclidische ruimte, met slechts één kant. Het werd onafhankelijk van hem ontdekt door Johann Benedict Listing, rond dezelfde tijd. Möbius was de eerste die homogene coördinaten in de projectieve meetkunde introduceerde. De Möbius-transformatie, belangrijk in de projectieve meetkunde, en de Möbius-functie dragen ook zijn naam. Hij droeg ook bij aan de getaltheorie.
De stelling van Chasles-Möbius is ook naar hem genoemd.
Bron: Wikipedia
Het wiskundige werk van Steiner beperkte zich tot meetkunde. Hij behandelde dit synthetisch en geheel niet analytisch. De analytische benadering haatte hij, en er wordt gezegd dat hij het als schande beschouwde voor de synthetische meetkunde als gelijke of sterkere resultaten werden gevonden met analytische methodes. Op zijn terrein overtrof hij al zijn tijdgenoten. Zijn onderzoeken onderscheiden zich doordat ze ver gegeneraliseerd zijn, door de vruchtbaarheid van zijn bronnen en de accuratesse van zijn bewijzen. Hij werd wel beschouwd als de grootste zuiver meetkundige sinds Apollonius van Perga.
In Steiners Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander legde hij het fundament voor de moderne synthetische meetkunde. Hij introduceerde wat nu meetkundige vormen worden genoemd (de projectieve reeks, lijnenbundel, enz.) en legde tussen hun elementen een eenduidig verband, of zoals hij het noemde, maakte ze projectief. Vervolgens kwam hij met hulp van deze projectieve reeksen en lijnenbundels tot een nieuwe generatie kegelsneden en kwadratische regeloppervlakken. Dit leidde tot snellere en directere manieren dan tot dan toe bekend naar het wezen van kegelsnedes en onthulde de organische verbinding tussen hun diverse eigenschappen en geheimen. In dit werk, dat maar één deel omvat in plaats van de geplande vijf, is ook vanaf het allereerste begin voor de eerste keer het principe van dualiteit geïntroduceerd als een onmiddellijk gevolg van de fundamentele eigenschappen van vlak, lijn en punt.
Bron: WikipediaVon Staudt (1798 - 1867) war der Sohn des Rothenburger Stadtgerichtsrates Christian von Staudt. Staudt studierte an der Universität Göttingen bei Carl Friedrich Gauß, wo er sich mit Zahlentheorie (Kreisteilung und Bernoullische Zahlen) beschäftigte. Er war Lehrer am Melanchthon-Gymnasium Nürnberg sowie an der erst Städtischen dann Staatlichen Polytechnischen Schule Nürnberg (u. a. von Bernhard Gugler). Zuletzt war er von 1835 bis 1867 ordentlicher Professor für Mathematik an der Universität Erlangen.
Er erweiterte nach Jean-Victor Poncelet und Jakob Steiner die Projektive Geometrie, wobei er die Konzepte der Geometrie von allen metrischen Hilfsmitteln loslöste (v. Staudt-Kegelschnitt) und eine ganz neue Auffassung der imaginären Elemente in der Geometrie schuf.
Bron: Wikipedia
Gedurende 14 jaar was Cayley (1821 - 1895) actief als advocaat, en publiceerde tegelijk zo'n 250 wetenschappelijke artikelen over wiskunde. Hij werd daarna aan de Universiteit van Cambridge aangesteld in een leerstoel als Sadleirian Professor, waar hij nog eens zo'n 650 publicaties realiseerde.
Cayley introduceerde de vermenigvuldiging van matrices. Hij bewees de stelling van Cayley-Hamilton, die zegt dat elke matrix de oplossing is van zijn eigen karakteristieke polynoom. Cayley was ook de eerste die het concept van een groep op een moderne manier beschreef als een verzameling met een binaire operatie die aan een aantal regels moet voldoen.
In 1882 kreeg hij de Copley Medal.
Bron: Wikipedia
Felix Christian Klein (Düsseldorf, 25 april 1849 - Göttingen, 22 juni 1925) was een Duits wiskundige.
Klein was hoogleraar aan de universiteiten van Erlangen (waar hij het Erlanger Programm opstelde), München, Leipzig en uiteindelijk Göttingen waar hij wiskunde doceerde. Zijn hoofdonderwerpen waren niet-euclidische meetkunde, groepentheorie en functietheorie. Naar hem is onder andere de fles van Klein genoemd. In 1912 kreeg hij de Copley Medal.
Onder het redacteurschap van Klein werd het blad, Mathematische Annalen, een van de beste wiskundige tijdschriften ter wereld. Opgericht door Clebsch werd dit blad onder leiding van Klein in eerste instantie een rivaal van Crelle's Journal, een blad met sterke banden met de Universiteit van Berlijn. Klein stelde een klein team van redacteuren in, dat regelmatig bijeenkwam en waar democratische besluitvorming plaatsvond. Het tijdschrift specialiseerde zich vooral in de complexe analyse, de algebraïsche meetkunde en de invariantentheorie (tenminste totdat Hilbert het invariantenprobleem oploste). Ook werd er aandacht besteed aan de reële analyse en de nieuwe groepentheorie.
Mede dankzij de inspanningen van Klein op dit gebied liet Göttingen sinds 1893 ook vrouwelijke studenten toe. Bron: Wikipedia
Op zijn graf in Göttingen staan zijn beroemde woorden: "Wir müssen wissen - Wir werden wissen". Bron: Wikipedia
Brouwer (1881 - 1966) verrichtte baanbrekend werk op twee gebieden: de topologie en de grondslagen van de wiskunde. In de topologie (meetkunde der continue verschijnselen) forceerde hij een doorbraak met de introductie van nieuwe methoden en begrippen, bijv. simpliciale approximatie en afbeeldingsgraad. De spectaculairste onder Brouwers resultaten op dit gebied zijn de invariantie van dimensie (1910), de dekpuntsstelling (1911), van de stelling van de Jordan-kromme en zijn hoger dimensionale generalisatie (1910). In 1913 gaf Brouwer een definitie van dimensie; dat hij hiermee de eerste zou zijn geweest die tot zulk een definitie kwam werd later (1928) door K. Menger (ten onrechte) aangevochten. Het topologisch werk van Brouwer valt voornamelijk vóór 1920. Vanaf 1918 werkte Brouwer aan een constructieve opbouw van de wiskunde. Brouwers zg. intuïtionistische wiskunde was gebaseerd op de idee van wiskunde als mentale activiteit van de mens. Dit bracht hem in conflict met het zg. formalisme onder leiding van David Hilbert (1862-1943). De hieruit voortvloeiende grondslagenstrijd bestreek het grootste deel van de jaren twintig en werd met ongewone felheid gevoerd. Een uitvloeisel was de zg. Mathematische Annalenaffaire (1927), waarbij Hilbert Brouwer als redacteur wilde ontslaan op grond van zijn gevaarlijke invloed. Uiteindelijk trad de hele redactie af en werd Brouwer niet herbenoemd. In een reactie op deze kwetsende behandeling richtte hij in 1934 het tijdschrift Compositio mathematica op. Vanaf de jaren dertig nam zijn wiskundige activiteit af, om plotseling na de Tweede Wereldoorlog weer op te bloeien met een reeks verrassende artikelen. Het intuïtionisme trok weinig beoefenaren - Hermann Weyl steunde Brouwer een tijdlang - en hier ten lande zette Arend Heyting de studie van de intuïtionistische wiskunde voort. Na de jaren zestig nam de beoefening ook in het buitenland toe, thans is het intuïtionisme een erkende, en niet langer bestreden, stroming in de filosofie van de wiskunde.
Brouwers intuïtionisme had een aantal negatieve aspecten. Zo was voor hem de wiskunde essentieel taalloos, een geheel interne, mentale activiteit van de mens, hierdoor kreeg de taal een louter begeleidende, secundaire rol. Evenzo bestreed hij de autonomie van de logica. Intuïtionistisch bezien is logica een produkt van de wiskunde, en niet een zelfstandige discipline waarop de wiskunde gefundeerd zou zijn. Maar zelfs als afgeleide discipline verliest de logica op intuïtionistische grondslag een aantal gangbare wetten. De bekendste door Brouwer verworpen wet is 'het principe van de uitgesloten derde', dat zegt dat voor iedere uitspraak A, óf wel A, óf wel niet-A geldt. Het formalisme, dat de wiskunde beschouwt als een formeel inhoudsloos spel met symbolen, werd door Brouwer met alle kracht bestreden.
Bron: D. van DalenZijn roem heeft Gödel vrijwel alleen te danken aan zijn Onvolledigheids-stelling. Wat houdt die stelling in? Glad ijs. Eerst even technisch. Het artikel waarin Gödel in 1931 zijn fameuze stelling bewees, had als titel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme.
Dat zal niet veel ophelderen. We beginnen helemaal bij het begin. In de wiskunde zijn dat de getallen 0, 1, 2, 3, … enzovoorts. Enzovoorts: we hopen inderdaad dat we op die manier oneindig lang kunnen doortellen. Verder hebben we een paar bewerkingen tussen de getallen nodig zoals optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen. Daarmee kunnen we alle wiskunde maken. Tenminste, als we nog wat regels over gezond redeneren toevoegen, zoals: als B uit A volgt en C uit B, dan volgt C uit A. Deze basiselementen en de redeneerregels vormen de axioma’s van ons wiskundig systeem. En eigenlijk van alle wiskundige systemen: van de Principia Mathematica en alle daaraan verwante systemen. En dat zijn ze zo’n beetje allemaal.
Nu zegt Gödel in zijn stelling: ja, vanuit die axioma’s kun je met je redeneerregels heel veel heel mooie stellingen bewijzen (zoals: er zijn oneindig veel priemgetallen, of: π is niet te schrijven als een breuk van twee gehele getallen). Maar niet alles! Er zijn beweringen die waar zijn, maar die niet met de regels van het systeem zijn te bewijzen. Het systeem is niet volledig. Vergelijk het met een boom met heel veel takken, waarbij iedere tak staat voor een bewering die je uit de axioma’s kunt afleiden. Tussen de bladeren zweven dan nog steeds beweringen die waar zijn maar niet via een tak te bereiken. Hoe verfijnd je je takken ook maakt. Hoe je kunt zien dat die vermaledijde rondzwevende bewering toch waar is terwijl je er niet via een tak kunt komen, dat is een ander verhaal. Daarvoor moet je echt naar het bewijs van de stelling zelf, en dat is knap ingewikkeld. Budiansky heeft er in zijn biografie een appendix van 6 pagina’s voor over, en dan nog raakt hij alleen maar de buitenkant. Verder kun je ook niet gaan in zo’n boek, het hele bewijs is echt moeilijk.
Het is inmiddels 1928 als Gödel in Bologna een lezing van de beroemde Duitse wiskundige David Hilbert bijwoont. Hilbert beweert dat het mogelijk moet zijn om uit de axioma’s van een formeel systeem alle ware beweringen van dat systeem af te leiden. Het is het moment waarop zijn carrière een beslissende wending neemt. Drie jaar later publiceert hij zijn Onvolledigheidsstelling. Hilbert heeft ongelijk. De wereld, of in ieder geval de wiskunde, zou nooit meer hetzelfde zijn.
Er zijn vijf Van Hiele-niveaus, van 0 tot 4 (de notatie 1 tot 5 bestaat ook).
Het basisidee van het model is dat meetkunde geleerd wordt via graduele denkniveaus. Deze niveaus zijn niet aan leeftijd gebonden en hebben de volgende eigenschappen:
Yefimov grew up in Rostov-on-Don and graduated from Rostov State University, where he studied with Morduhai-Boltovskoi. He worked at Voronezh State University from 1934 to 1941. He taught at the Moscow State University since 1946. Aleksei Pogorelov was one of his students there.
He received the Lobachevsky Prize in 1951 and Lenin Prize in 1966. He was an invited plenary speaker at the International Congress of Mathematicians in Moscow, 1966. He became a corresponding member of the Academy of Sciences of the Soviet Union in 1979.
Bron: Wikipedia
(1932, Amsterdam) is a Dutch mathematician and historian of science.
Van Dalen studied mathematics and physics and astronomy at the University of Amsterdam. Inspired by the work of Brouwer and Heyting, he received his Ph.D. in 1963 from the University of Amsterdam for the thesis Extension problems in intuitionistic plane Projective geometry. From 1964 to 1966 Van Dalen taught logic and mathematics at MIT, and later Oxford. From 1967 he was professor at the University of Utrecht. In 2003 Dirk van Dalen was awarded the Academy Medal 2003 of the Royal Dutch Academy of Sciences for bringing the works of Brouwer to international attention.[1]
Bron: WikiwandSebastiaan Johan „Bas“ Edixhoven (1962 - 2022) ist ein niederländischer Mathematiker, der sich mit Zahlentheorie und arithmetischer algebraischer Geometrie beschäftigt.
Edixhoven studierte an der Universität Utrecht, wo er 1985 sein Diplom machte und 1989 bei Frans Oort (und Bert van Geemen)[1] promoviert wurde (Stable models of modular forms and applications). 1989 bis 1991 war er Assistant Professor an der University of California, Berkeley und dann ein Jahr als Huygens Stipendiat in Utrecht. 1992 bis 2002 war er Professor an der Universität Rennes I (ab 1998 mit voller Professur)[2] und danach Professor an der Universität Leiden. 1997 war er Miller Visiting Professor in Berkeley und 1998 am Tata Institute of Fundamental Research.
Edixhoven erzielte teilweise mit seinem Schüler Andrei Yafaev Resultate in Bezug auf die Vermutung von Yves André und Frans Oort über Untervarietäten von Shimura-Varietäten, das heißt, er gab Beweise für Spezialfälle.[3] Neben arithmetischer algebraischer Geometrie, Modulformen und Zahlentheorie beschäftigt er sich mit fehlerkorrigierenden Codes (worüber er mit Auftrag des französischen Verteidigungsministeriums und Canon forschte).
Seit 2003 ist er Mitherausgeber von Compositio Mathematica und von 1998 bis 2004 des Journal de Theorie des Nombres des Bordeaux. Er ist Mitherausgeber von Expositiones Mathematicae und des Journal of Number Theory.
1989 bis 1992 war er Constantin und Christiaan Huygens Fellow der niederländischen Forschungsorganisation (N.W.O). 1995 bis 2002 war er Mitglied des Institut Universitaire de France. Er ist seit 2009 Mitglied der Niederländischen Akademie der Wissenschaften (nachdem er 2001 schon korrespondierendes Mitglied war). 2008 war er Invited Speaker auf dem Europäischen Mathematikerkongress (On the computation of coefficients of modular forms).
Van Berkel (1953) studeerde geschiedenis en filosofie aan de Rijksuniversiteit Groningen, en promoveerde in 1983 aan de Universiteit Utrecht op een proefschrift over Isaac Beeckman (1588-1637) en de mechanisering van het wereldbeeld.[2]
Nadien werkte hij eerst als wetenschappelijk medewerker bij de Open Universiteit en doceerde hij geschiedenis der natuurwetenschappen aan de Landbouwhogeschool te Wageningen. In 1988 werd hij - als opvolger van Ernst Kossmann - benoemd tot hoogleraar Geschiedenis na de Middeleeuwen aan de Rijksuniversiteit Groningen. Van 1992 tot 1999 was hij directeur van het Rudolf Agricola Instituut.
Vanaf 1988 werkte Van Berkel ook als redacteur bij verschillende tijdschriften en in verschillende administratieve functies en commissies. Sinds 1997 is hij lid van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW).[3]