In dit deel zijn mensen beschreven, die me inspireren. Voorlopig is er ook aan dit gedeelte nog veel werk te doen om de relatie met deze website en ook de onderlinge verbanden goed weer te geven en de vele en grote stukken citaten nauwgezet te controleren op onjuistheden. Dit onderzoek ik met behulp van mijn WWF-bibliotheekje in combinatie met internet.

Licht en donker


Licht en donker vormen een dualiteit, waar velen in de loop van hun aardse leven zowel letterlijk als figuurlijk, mee te maken hebben gekregen. In de tijd van Johannes Kepler (1571 - 1630) was dat niet anders, al bekeek men toen zichzelf en de wereld iets anders dan we nu gewend zijn. "Ik was alleen Gods gedachten na hem aan het denken. Aangezien wij astronomen priesters zijn van de allerhoogste God ten aanzien van het boek der natuur, doet het ons nut om bedachtzaam te zijn, niet gericht op de glorie van onze gedachten, maar enkel en alleen op de heerlijkheid van God", aldus Kepler, die ook schreef: "Kan ik God, wie ik, in de beschouwing van het hele universum bijna in mijn handen kan voelen, ook in mijzelf vinden?".

In de middeleeuwen en daarvóór leek men zich niet alleen bewust te zijn van een materiële wereld, maar ook van het belang en bestaan van een geestelijke wereld. De latere emancipatie van de geestelijke wereld, die zich in de kunst openbaart als het oog voor perspectief, wordt door Dijksterhuis beschreven in "De mechanisering van het wereldbeeld". Net als andere vormen van emancipatie heeft dit een prijs. Emancipatie brengt namelijk verantwoordelijkheid met zich mee op het terrein, dat verzorgd werd door degene/datgene, waarvan men zich emancipeert. Dat er met geestelijke krachten, zoals E = mc2, niet te spotten valt, weten we.

De wiskunde vormt een relatief ongevaarlijk en algemeen toegankelijk oefenterrein op geestelijk gebied. Plato gaf dit eenentwintig eeuwen geleden aan. Wiskunde speelt een merkbaar groeiende rol in wetenschap en samenleving, maar wordt sterk geassocieerd met natuurwetenschap. Toch zijn beide niet wederzijds afhankelijk. Op de keper beschouwd staat wiskunde als geesteswetenschap op eigen benen.

Ellipsen en hyperbolen


Na duizend bladzijden rekenwerk aan de nauwkeurigste hoekmetingen, die toen beschikbaar waren en door Tycho Brahe met het blote oog vanuit Uraniënborg waren waargenomen, kon Kepler aantonen dat mars in een ellips om de zon beweegt.

Kepler was wiskundig ontwikkeld en bekend met kegelsneden. Verreweg de meeste kegelsneden hebben een elliptische of hyperbolische vorm met twee brandpunten. De cirkel is een ellips, waarvan de brandpunten samenvallen. Hetzelfde geldt voor het lijnenpaar als hyperbool. De parabool scheidt ellipsen van hyperbolen, waarbij de brandpuntsafstand oneindig is geworden, zodat er slechts één brandpunt overblijft, terwijl de andere de vorm van een richting aanneemt. Bij hyperbolen zou je daarom kunnen spreken van een negatieve brandpuntsafstand. Bij hyperbolen zou je daarom kunnen spreken van een een positief en een negatief brandpunt. Worden afstanden naar het negatieve brandpunt als negatief opgevat, dan laten onderstaande kenmerken van ellips en hyperbool zich tot een gelijkluidend kenmerk veralgemenen, namelijk 
B + r = b + R.
In de figuur hiernaast is te zien hoe hyperbolen samengaan met twee concentrische cirkelbundels, waarvan het verschil in diameter van naast elkaar gelegen cirkels gelijk is voor beide bundels. In de lichte vlekken overlappen cirkels elkaar, waarbij de achtergrond sterker doorkomt. In de bovenste helft zijn geen zwarte hyperbooltakken afgebeeld. De takken in de onderste helft zijn halve hyperbolen, spiegelingen van het bovenste deel en op snijpunten van cirkels gelegen. Het centrum van een cirkelbundel fungeert als brandpunt. Eén van de hyperbolen is de spiegellijn van de constructie.

Stel dat de stralen van twee opeenvolgende blauwe cirkels B en b zijn. Ook de cirkels met stralen R en r liggen naast elkaar, waarbij R = r + 1 en B = b + 1. Een hyperbool verbindt in dat geval de snijpunten BR en br, waarvan het afstandsverschil met de brandpunten gelijk is aan B - R = b - r. De snijpunten Br en Rb worden door een ellips verbonden. Van deze punten is de afstandssom gelijk aan B + r = b + R.

De spiegellijn verdeelt de hyperbolen in twee symmetrische delen, onder en boven. De twee delen verhouden zich tot elkaar als een positieve tot een negatieve ruimte met tegengestelde afstanden. Deze negatieve ruimte zou ook antiruimte of tegenruimte kunnen worden genoemd. De wiskundige Louis Locher-Ernst is hier in zijn boek "Raum und Gegenraum" op ingegaan.

Cirkels en cassinische ovalen


De naastgelegen figuur bevat twee concentrische cirkelbundels, waarvan de diameterverhouding van naast elkaar gelegen cirkels gelijk is voor beide bundels. Stel de straal van twee opeenvolgende blauwe cirkels is B en b. Ook liggen de cirkels met stralen R en r naast elkaar, waarbij R = c*en B = c*b.  Het centrum van een cirkelbundel fungeert als brandpunt.

Een cirkel verbindt de snijpunten BR en br, waarvan de afstandsverhouding met de brandpunten gelijk is aan B : R = b :  r. Deze cirkel is een onderdeel van een zogenoemde apollonische cirkelbundel, genoemd naar Apollonius van Perga.

Een cassinische ovaal verbindt de snijpunten Br en bR, waarvan het afstandsproduct met de brandpunten gelijk is aan B * r = b * R . Een overgangsvorm binnen de ovalenbundel is de lemniscaat van (Jakob) Bernoulli, die ingesnoerd als een wespentaille de enkelvoudige en tweevoudige ovalen van elkaar scheidt. De onderdelen van een tweevoudige ovaal zijn verbonden door imaginaire punten. Dit zijn punten met complexe coördinaatgetallen.

Gian Domenico Cassini


De cassinische ovalen zijn genoemd naar Gian Domenico Cassini (1625 - 1712), de grondlegger van een astronomendynastie, die de gehele franse astronomie van vóór de revolutie heeft beïnvloed. Hij hield zich vooral met de waarnemende astronomie bezig, eerst in Bologna en later, vanaf 1669, in Parijs.
De naar hem genoemde cassinische curve, in het bijzonder de ovale vormen hiervan, bedacht hij als alternatief voor de ellipsen van Kepler voor de beschrijving van planetenbanen. In het Parijse observatorium werd hij aan het begin van de achttiende eeuw door zijn zoon Jacques opgevolgd. Van hem is de enige getuigenis over de toepassing van de cassinische curven afkomstig.
De wetmatigheid van de cassinische curven ontstaat op voor de hand liggende wijze als een variatie op de vorming van apollonische cirkels. Een apollonische cirkel is de meetkundige plaats met een constante afstandsverhouding ten opzichte van twee vaste (brand-)punten. Neemt men een constant afstandsproduct, dan ontstaan cassinische curven.

Girard Desargues


Girard Desargues (1591-1661) was born on the 21 of February 1591 in Lyon, to a wealthy French aristocrat. His father was a notary public for the crown. The most famous work of Desargues is the field of geometry. Rough draft for an essay on the result of taking plane sections of a cone was printed only in small quantities in 1639.

Desargues Theorem, an approach to Projective Geometry through the study of figures and shapes, is an acknowledged and improved version to the work of previous contributors such as Pappus and Apollonius and a continuation of the Euclidean Geometry.

With this Mathematical statement publication, he was able to introduce his unique form of Geometry, “The Desargues Theorem,” into Mathematics, which motivated the development of Projective Geometry in the first quarter of the 19th century by another French mathematician, Jean-Victor Poncelet. This feat has made many regard Desargues has the founder of Projective Geometry.          Bron: The Story of Mathematics

Blaise Pascal


Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, 19 juni 1623 – Parijs, 19 augustus 1662) was een Franse wis- en natuurkundige, christelijk filosoof, theoloog en apologeet. Pascal was een katholiek, die ook een grote invloed heeft gehad op het protestantisme.

Zijn belangrijkste bijdragen op het vlak van de wis- en natuurkunde zijn:

Als christelijk denker wordt Pascal vooral gezien als de apologeet (verdediger) van deopenbaring. Hij stelt met klem dat de rede haar eigen grenzen moet kennen en dat zij moet buigen voor de door God gegeven werkelijkheid. Ter bekostiging van een weeshuis bedacht hij de eerste vaste koetslijn voor openbaar vervoer in Parijs. Bron: Wikipedia

Johann Heinrich Lambert


Johann Heinrich Lambert (Mulhouse, 26 augustus 1728 – Berlijn, 25 september 1777) was een Duits-Zwitserse wetenschapper. Hij was behalve wiskundige ook astronoom, natuurkundige en filosoof.

Van oktober 1757 tot juni 1758 verbleef Lambert met twee leerlingen, van wie hij in het Zwitserse Chur de huisleraar was, in Utrecht en maakte vandaar reizen naar Den Haag, waar de uitgever van zijn eerste boek Route de la lumière gevestigd was, Rotterdam, Leiden, voor een bezoek aan Pieter van Musschenbroek, Gouda, Amsterdam en Zeist, naar de Hernhutter-gemeenschap.

In 1758 verscheen Route de la lumière, een weerboek. Hij maakte daarin gebruik van symbolen die hij overgenomen had van middeleeuwse astronomen. Dergelijke symbolen werden in de 18e eeuw op grote schaal gebruikt en zijn de voorlopers van de moderne weerkaartsymbolen.

Lambert wordt gezien als de grondlegger van de moderne cartografie met zijn theorie van kaartprojecties. Hij beschreef een aantal projectiemethoden die equivalent of conform zijn. Beide tegelijk is niet mogelijk. Een van zijn theorieën was de basis voor vele deelkaarten van de wereld, de lambertprojectie. Er kwam een groot aantal verbeteringen en vele kaarten over de hele wereld zijn gebaseerd op de lambertprojectie.

Lambert was de eerste die onomstotelijk bewees dat het getal π (pi) een irrationaal getal was, dat wil zeggen niet als een breuk kan worden geschreven

Lambert bouwde de eerste practisch bruikbare hygrometer. In 1760 verscheen zijn boek over fotometrie, de Photometria. Uitgaande van de veronderstelling dat licht zich rechtlijnig beweegt, toonde Lambert aan dat de belichting van een oppervlak recht evenredig was met de sterkte van de lichtbron en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tussen lichtbron en beschenen oppervlak en de sinus van de hoek tussen de lichtstralen en het oppervlak, de Lamberts cosinuswet. De resultaten werden ondersteund door waarnemingen: de visuele vergelijking van de luminantie en de uitgevoerde berekeningen.

In Photometria formuleerde Lambert ook de wet van lichtabsorptie, de Wet van Lambert-Beer en introduceerde hij het begrip albedo.[1] Lambertreflectie, ook geïntroduceerd in Photometria is naar hem genoemd.

Lambert schreef ook een klassiek geworden boek over lijnperspectief en heeft bijgedragen aan de geometrische optica.     Bron: Wikipedia


Lambert's theorem

Bewijs: Drie raaklijnen aan een parabool vormen een driehoek met een orthocentrum op de directrix en een omcirkel die door de focus gaat

Jean Victor Poncelet


Poncelet (1788 - 1867) was de grondlegger van de projectieve meetkunde, een tak van de wiskunde waarin in de 15e eeuw in het bijzonder door Desargues al successen waren geboekt. De tijd van Poncelet is een tijd waarin de absoluutheid van de meetkunde van Euclides aan de orde was. Die 'absolute' meetkunde werd tot die tijd als enige mogelijkheid voor de vlakke meetkunde gezien. De pogingen in die tijd om het zogenaamde parallellenpostulaat van Euclides te bewijzen uit de andere vier postulaten leidde tot verrassende resultaten. Voor het eerst in 2000 jaar was men weer ontdekkend met de meetkunde bezig. In de negentiende eeuw zijn er dientengevolge verschillende meetkunden ontstaan, waarvan een aantal niet overeenkwam met de resultaten van die van Euclides.

Die zogenoemde niet-euclidische meetkunden, met voortrekkers als Bolyai en Lobashevski (en Gauss), werden in die tijd ontwikkeld en toegepast in onder meer de relativiteitstheorie van Einstein, in het begin van de twintigste eeuw. Poncelet hield zich met één van die bijzondere meetkunden bezig, een zuiver synthetische benadering van de meetkunde van de (centrale) projecties.

Naarmate zijn resultaten echter steeds verder kwamen af te staan van de ontwikkelingen in die tijd, die vooral gericht waren op de verdere ontwikkeling en toepassing van de algebra in de meetkunde, in gang gezet door Descartes, kreeg hij steeds meer conflicten met Gergonne en Cauchy en trok hij zich meer en meer terug in zijn oorspronkelijke aandachtsgebied, het construeren van machines.

Van 1825 tot 1835 was hij professor in de mechanica aan de École d'Application in Metz. Hij paste daar wiskunde bijvoorbeeld toe op de verbetering van turbines en waterraderen.

Chasles (1793-1880) nam zijn werk in de projectieve meetkunde over en breidde dit uit tot de moderne projectieve meetkunde. Sommige bronnen noemen Chasles dan ook wel de aartsvader van de projectieve meetkunde in plaats van Poncelet.

  • In 1829 beschreef hij in een artikel de theorie van de pool en poollijn met betrekking tot krommen van een hogere graad dan 2.

 

Verder was Poncelet een aanhanger van het principe van continuïteit, dat hij nodig had om zijn oneigenlijke punten en oneigenlijk rechte te kunnen verantwoorden. Het principe van continuïteit zegt in dit geval: twee lijnen snijden elkaar altijd, behalve als ze evenwijdig zijn, maar de verandering van niet-evenwijdig naar evenwijdig is een zo kleine verandering dat de eigenschap 'snijden' daardoor niet zal veranderen. Aan dat principe kleefden natuurlijk nogal wat bezwaren die Poncelet in zijn "Traité ..." ook wel voorzag, maar niettemin vond hij het gerechtvaardigd dit principe te gebruiken om zijn wiskunde verder te ontwikkelen. Het principe van continuïteit speelt bij die ontwikkeling voortdurend een rol.

Cauchy was hier niet gelukkig mee, hij vond dit principe niet goed, omdat teveel vertrouwen in dit principe kan leiden tot duidelijke fouten. Er zijn nu eenmaal formules, bijv. over lengte, opp. en inhoud, die alleen waar zijn binnen bepaalde grenzen, en waarbij je die grenzen zeker niet moet overschrijden. Wel was hij, en zijn commissie, zeer gecharmeerd van de theorie van de ideale koorde van kegelsneden.

Die had Poncelet nodig voor de volgende redenering: Het sluitingsvraagstuk, het porisme, geldt duidelijk voor bijvoorbeeld een cirkel met daarin een vierkant, een sluitend figuur dus. In dat vierkant is weer een ingeschreven cirkel te tekenen. Die cirkels zijn concentrisch. Het vierkant kun je draaien, zonder dat er iets aan de configuratie verandert. Dus voor dit geval geldt het porisme wel.

Maar hoe zit het nu bij twee willekeurige kegelsneden? Het zou mooi zijn als je de kegelsneden kunt projecteren naar twee cirkels, waarvoor je het porisme wel zou kunnen bewijzen, wetende dat het dan ook in het algemeen geldt. Dat nu was de opdracht van Poncelet, een lastig probleem. En daar had hij zijn ideale koorde, oneigenlijke punten en oneigenlijke rechte voor nodig.
Bron: Math4All

Joseph Diez Gergonne


Gergonne (1771 - 1859) was de eerste wiskundige die het woord polair gebruikte. In een reeks artikelen vanaf 1810 ontdekte hij het principe van de dualiteit in de projectieve meetkunde. Hij merkte op dat elke stelling in het vlak, dat punten en lijnen verbindt, overeenkomt met een andere stelling waarin punten en lijnen zijn verwisseld, op voorwaarde dat de stelling geen metrische begrippen bevat. In 1816 kwam hij met een elegante oplossing voor het raakprobleem van Apollonius: het vinden van een cirkel die drie gegeven cirkels raakt. In de driehoeksmeetkunde is het Punt van Gergonne naar hem genoemd.

In 1813 schreef Gergonne een prijswinnend essay voor de Academie van Bordeaux, "Methoden voor synthese en analyse in de wiskunde", tot op de huidige dag ongepubliceerd en alleen bekend van een samenvatting. Het essay geeft een duidelijk beeld van Gergonnes filosofische ideeën. Hij riep om de woorden analyse en synthese voortaan niet meer te gebruiken omdat deze woorden volgens hem geen duidelijke betekenis hebben. Op een moment dat de abstracte algebra nog bijna alleen bestond uit de elementaire algebra van het reële veld, verkondigde hij, toch ietwat verrassend voor een meetkundige, dat algebra belangrijker is dan meetkunde. Hij voorspelde dat er een tijd zou komen dat quasi-mechanische methoden zouden worden gebruikt bij het ontdekken van nieuwe resultaten.    Bron: Wikipedia

August Ferdinand Möbius


August Ferdinand Möbius (1790 - 1868) studeerde eerst rechten, maar van 1809 tot 1814 wiskunde aan de Universiteit van Leipzig. Hij promoveerde bij Johann Friedrich Pfaff op De computandis occultationibus fixarum per planetas (Berekening van stereclipsen door planeten). In 1815 verkreeg hij zijn Habilitation door sterrenkundig werk. Een jaar later werd hij buitengewoon hoogleraar en Observator van de sterrenwacht van Leipzig, op aanbeveling van Carl Friedrich Gauss, en in 1848 directeur van die sterrenwacht.

Möbius is vooral bekend door zijn ontdekking van de naar hem genoemde Möbiusband: een tweedimensionaal oppervlak ingebed in de driedimensionele euclidische ruimte, met slechts één kant. Het werd onafhankelijk van hem ontdekt door Johann Benedict Listing, rond dezelfde tijd. Möbius was de eerste die homogene coördinaten in de projectieve meetkunde introduceerde. De Möbius-transformatie, belangrijk in de projectieve meetkunde, en de Möbius-functie dragen ook zijn naam. Hij droeg ook bij aan de getaltheorie.

De stelling van Chasles-Möbius is ook naar hem genoemd.
Bron: Wikipedia

Jacob Steiner


(1796 - 1863)

Het wiskundige werk van Steiner beperkte zich tot meetkunde. Hij behandelde dit synthetisch en geheel niet analytisch. De analytische benadering haatte hij, en er wordt gezegd dat hij het als schande beschouwde voor de synthetische meetkunde als gelijke of sterkere resultaten werden gevonden met analytische methodes. Op zijn terrein overtrof hij al zijn tijdgenoten. Zijn onderzoeken onderscheiden zich doordat ze ver gegeneraliseerd zijn, door de vruchtbaarheid van zijn bronnen en de accuratesse van zijn bewijzen. Hij werd wel beschouwd als de grootste zuiver meetkundige sinds Apollonius van Perga.

In Steiners Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander legde hij het fundament voor de moderne synthetische meetkunde. Hij introduceerde wat nu meetkundige vormen worden genoemd (de projectieve reeks, lijnenbundel, enz.) en legde tussen hun elementen een eenduidig verband, of zoals hij het noemde, maakte ze projectief. Vervolgens kwam hij met hulp van deze projectieve reeksen en lijnenbundels tot een nieuwe generatie kegelsneden en kwadratische regeloppervlakken. Dit leidde tot snellere en directere manieren dan tot dan toe bekend naar het wezen van kegelsnedes en onthulde de organische verbinding tussen hun diverse eigenschappen en geheimen. In dit werk, dat maar één deel omvat in plaats van de geplande vijf, is ook vanaf het allereerste begin voor de eerste keer het principe van dualiteit geïntroduceerd als een onmiddellijk gevolg van de fundamentele eigenschappen van vlak, lijn en punt.

Bron: Wikipedia

Karl Georg Christian von Staudt 


Von Staudt (1798 - 1867) war der Sohn des Rothenburger Stadtgerichtsrates Christian von Staudt. Staudt studierte an der Universität Göttingen bei Carl Friedrich Gauß, wo er sich mit Zahlentheorie (Kreisteilung und Bernoullische Zahlen) beschäftigte. Er war Lehrer am Melanchthon-Gymnasium Nürnberg sowie an der erst Städtischen dann Staatlichen Polytechnischen Schule Nürnberg (u. a. von Bernhard Gugler). Zuletzt war er von 1835 bis 1867 ordentlicher Professor für Mathematik an der Universität Erlangen.

Er erweiterte nach Jean-Victor Poncelet und Jakob Steiner die Projektive Geometrie, wobei er die Konzepte der Geometrie von allen metrischen Hilfsmitteln loslöste (v. Staudt-Kegelschnitt) und eine ganz neue Auffassung der imaginären Elemente in der Geometrie schuf.

Bron: Wikipedia

Edmond Laguerre


Edmond Nicolas Laguerre (Bar-le-Duc, 9 april 1834 - Bar-le-Duc, 14 augustus 1886) was een Franse wiskundige en lid van de Académie française. Zijn belangrijkste werk lag op het terrein van de geometrie en complexe analyse. Laguerre deed ook onderzoek naar orthogonale polynomen, in het bijzonder de naar hem genoemde Laguerre-polynomen.
Bron: Wikipedia

Arthur Caley


Gedurende 14 jaar was Cayley (1821 - 1895) actief als advocaat, en publiceerde tegelijk zo'n 250 wetenschappelijke artikelen over wiskunde. Hij werd daarna aan de Universiteit van Cambridge aangesteld in een leerstoel als Sadleirian Professor, waar hij nog eens zo'n 650 publicaties realiseerde.

Cayley introduceerde de vermenigvuldiging van matrices. Hij bewees de stelling van Cayley-Hamilton, die zegt dat elke matrix de oplossing is van zijn eigen karakteristieke polynoom. Cayley was ook de eerste die het concept van een groep op een moderne manier beschreef als een verzameling met een binaire operatie die aan een aantal regels moet voldoen. In 1882 kreeg hij de Copley Medal.

Bron: Wikipedia

Felix Klein


Felix Christian Klein (Düsseldorf, 25 april 1849 - Göttingen, 22 juni 1925) was een Duits wiskundige.

Klein was hoogleraar aan de universiteiten van Erlangen (waar hij het Erlanger Programm opstelde), München, Leipzig en uiteindelijk Göttingen waar hij wiskunde doceerde. Zijn hoofdonderwerpen waren niet-euclidische meetkunde, groepentheorie en functietheorie. Naar hem is onder andere de fles van Klein genoemd. In 1912 kreeg hij de Copley Medal.

Klein werd in Düsseldorf geboren, waar zijn vader als Pruisisch ambtenaar was gestationeerd in de Rijnprovincie. Hij ging naar het gymnasium in Düsseldorf. Daarna studeerde hij van 1865-1866 wiskunde en natuurkunde op de Universiteit van Bonn, van plan om natuurkundige te worden. Op dat moment bekleedde Julius Plücker de leerstoelen in de wiskunde en de experimentele natuurkunde, maar tegen de tijd dat Klein zijn assistent werd, in 1866, was Plücker voornamelijk geïnteresseerd in de meetkunde. In 1868 behaalde Klein onder supervisie van Plücker zijn doctoraat aan de universiteit van Bonn.

Het wiskundig onderzoekscentrum dat Klein in Göttingen oprichtte heeft over de hele wereld als model gediend voor soortgelijke wiskundige onderzoeks-centra. Hij introduceerde de wekelijkse discussievergaderingen en voerde de wiskundige leeszaal en bibliotheek in. In 1895 slaagde Klein erin om David Hilbert van de Universiteit van Königsberg naar Göttingen te lokken; deze benoeming bleek een zeer gelukkige. Hilbert zorgde er na Kleins emeritaat voor dat Göttingen nog zeker twintig jaar, tot zijn eigen emeritaat in 1932 en de komst van de nazi's in 1933, het belangrijkste centrum van wiskundig onderzoek in de wereld bleef.

Onder het redacteurschap van Klein werd het blad, Mathematische Annalen, een van de beste wiskundige tijdschriften ter wereld. Opgericht door Clebsch werd dit blad onder leiding van Klein in eerste instantie een rivaal van Crelle's Journal, een blad met sterke banden met de Universiteit van Berlijn. Klein stelde een klein team van redacteuren in, dat regelmatig bijeenkwam en waar democratische besluitvorming plaatsvond. Het tijdschrift specialiseerde zich vooral in de complexe analyse, de algebraïsche meetkunde en de invariantentheorie (tenminste totdat Hilbert het invariantenprobleem oploste). Ook werd er aandacht besteed aan de reële analyse en de nieuwe groepentheorie.

Mede dankzij de inspanningen van Klein op dit gebied liet Göttingen sinds 1893 ook vrouwelijke studenten toe.      Bron: Wikipedia

David Hilbert


(1862 - 1943) Op uitnodiging van de beroemde wiskundige Felix Klein ging hij in 1895 aan de slag als hoofd van de wiskundige faculteit aan de Georg-August-Universität Göttingen. Daar bleef hij de rest van zijn leven. Hilbert was daar werkzaam toen deze universiteit, mede door zijn promotiearbeid, de meest prominente verzameling wiskundigen ter wereld huisvestte. Hier deed hij ook de meeste van zijn ontdekkingen. Hilbert legde hier, in samenwerking met zijn beste leerlingen, veel van het wiskundige fundament voor de kwantummechanica, met name het concept van de Hilbertruimte. Verder legde hij met zijn studenten, zoals de latere schaakkampioen Emanuel Lasker en later beroemde wiskundigen en filosofen als Hermann Weyl, Ernst Zermelo, Carl Gustav Hempel, Emmy Noether, Alonzo Church en John von Neumann grotendeels de richting vast waarin de wiskunde van de 20e eeuw zich zou ontwikkelen. Hilbert reisde ook veel en gaf regelmatig lezingen op congressen van mathematici en gastcolleges aan de belangrijkste universiteiten van Europa. Zijn verdiensten werden vrijwel unaniem erkend door de wiskundige wereld en hij kreeg vele onderscheidingen en eredoctoraten aangeboden. Na een lang en vruchtbaar wetenschappelijk leven ging David Hilbert in 1930 met emeritaat maar verzorgde nog geregeld lezingen en gastcolleges.

De nazi's maakten echter, in de jaren na 1933, een eind aan de vooraanstaande plaats van de Göttinger universiteit, toen de Jodenvervolging begon na het invoeren van de rassenwetten van Neurenberg. Vele belangrijke wiskundigen, bijna allemaal persoonlijke vrienden van Hilbert, waarvan vele joden waren of getrouwd met joden, vertrokken naar het buitenland en daarmee hield Hilberts 'kweekschool' vrijwel op te bestaan. Hilbert werd weleens door zijn vrienden gevraagd om hen achterna te reizen maar de inmiddels hoogbejaarde Hilbert zag daar het nut niet van in voor de korte tijd die hij waarschijnlijk nog maar te leven had. Zijn familie woonde in Duitsland en als niet-jood had hij niet te lijden onder naziracisme. En zo was hij als beroemde wiskundige zowat alleen overgebleven. Bij een banket vroeg de nieuwe naziminister van onderwijs Bernhard Rust hoe het nu ging met de wiskunde in Göttingen nu alle joden 'verwijderd' waren. Hilbert antwoordde: "Wiskunde in Göttingen? Waar heb je het over? Die bestaat niet meer. Jullie hebben die om zeep geholpen!"

Op zijn graf in Göttingen staan zijn beroemde woorden: "Wir müssen wissen - Wir werden wissen".        Bron: Wikipedia

Hendrik de Vries


Hendrik de Vries (1867 - 1954) werd op 25 Augustus 1867 te Amsterdam geboren als zoon van David de Vries, leeraar aan de ambachtsschool, die kort daarna directeur van de ambachtsschool te Rotterdam werd. In 1884 vertrok het gezin naar Frauenfeld (kanton Aargau) in Zwitserland. Van 1886 tot 1890 studeerde Hendrik de Vries aan het Eidgenossische Polytechnicum te Zürich. Van 1890 tot 1894 was hij aldaar assistent voor Beschrijvende en Projectieve Meetkunde.

Zijn leermeester Fiedler, voor wie hij grote bewondering koesterde, wist het enthousiasme voor de meerdimensionale projectieve en beschrijvende meetkunde in hem te wekken, dat hem zijn leven lang is bijgebleven.

Naar Nederland teruggekeerd, zette De Vries zijn studie aan de Universiteit van Amsterdam voort, werd hier assistent voor Natuurkunde (1896-98) en daarna leeraar aan de eerste vijfjarige H.B.S. In 1901 promoveerde hij tot doctor in de wis- en natuurkunde op een proefschrift "Over de restdoorsnede van twee volgens een vlakke kromme perspectivische kegels, en over satelliet-krommen". Reeds eerder waren twee meetkundige verhandelingen van zijn hand in het Nieuw Archief voor Wiskunde 1 (1895) verschenen. In October 1901 werd hij privaat-docent aan de Universiteit van Amsterdam. in 1902 leeraar aan de Polytechnische School te Delft. Toen deze in 1905 in een Technische Hogeschool werd omgezet, werd hij daar hoogleeraar in de zuivere en toegepaste wiskunde en mechanica. In hetzelfde jaar werd hij hoofdredacteur van de Revue semestrielle des publications mathématiques.    Bron: B. L. VAN DER WAERDEN



In 1907 werd De Vries tot hoogleeraar aan de Universiteit van Amsterdam benoemd. Zijn leeropdracht omvatte de algebra en de analyse, maar hij heeft, zijn eigen voorkeur volgend, ook meetkundige en historische colleges gegeven. Tot 1937 heeft hij zijn buitengewone begaafdheid als voortreffelijke docent in dienst van deze universiteit gesteld. Toen hij de leeftijdsgrens bereikt had, is hij naar Palestina vertrokken, waar hij op 86-jarige leeftijd is overleden.

Inderdaad een voortreffelijke docent. Tot in de puntjes verzorgd waren zijn colleges, gekruid met geestige opmerkingen, een genot om te volgen. Hij wist in ons allen enthousiasme voor de meetkunde te wekken. In zijn Leerboek der Beschrijvende Meetkunde ziet men, hoe hij zich met de grootste liefde in elk détail verdiept, hoe hij de schoonheid van constructies en bewijzen meesterlijk naar voren weet te brengen.

Zijn vereerde leermeester Fiedler had een methode ontwikkeld, Cyclographie (*) genaamd, om de cirkels in een vlak op de punten van de ruimte af te beelden. In de Verhandelingen van deze Akademie (deel 8, 1904) heeft De Vries deze afbeelding op de leer van de vlakke krommen toegepast. In zijn "Lehre von der Zentralprojektion im vierdimensionalen Raume" (Göschen, 1905) heeft hij een fraaie, aanschouwelijke afbeeldingsmethode voor de vierdimensionale ruimte ontwikkeld. Ook in zijn bekende boek "De Vierde Dimensie" streeft hij er naar, de meerdimensionale ruimten aanschouwelijk en daardoor begrijpelijk te maken.          Bron: B. L. VAN DER WAERDEN 

(*) Kegelsneden zijn tweedegraadsvergelijkingen in x en y, waarin de 5 combinaties xx, yy, xy, x en y als termen voorkomen in alle mogelijke verhoudingen. De resterende term van de vergelijking is een constant getal. Cirkels zijn kegelsneden, waarbij 2 van de 5 vrijheidsgraden in gebruik zijn door de cirkelpunten (1/0, i/0) en (1/0, -i/0). (Hierbij wordt geen deling uitgevoerd !! De coördinaten van de cirkelpunten zijn verhoudingen, gelijkwaardig aan homogene coördinaten.) Twee van de overige 3 vrijheidsgraden bepalen de ligging van het middelpunt van de cirkel. De laatste vrijheidsgraad wordt door de diameter van de cirkel ingenomen. De cyclografie maakt gebruik van de mogelijkheid om de 3 vrije cirkelconstanten af te beelden op 3 ruimtedimensies. Dit betekent dat niet er alleen negatieve coördinaten voor het middelpunt bestaan, maar ook nog eens negatieve cirkeldiameters en -stralen!

Negatieve naast positieve cirkels vragen om een tweede ruimte naast de puntenruimte. Deze tweede (duale) ruimte noemen we coruimte. In de vlakke meetkunde is de coruimte een lijnenruimte. Zie de ionabrug en Wonderlijke Wiskunde, DJA.



Hendrik de Vries was in de allereerste plaats meetkundige. Door suggestieve meetkundige argumentaties wist hij ons, zijn leerlingen, vele stellingen zo plausibel te maken, dat wij aan de juistheid van de resultaten niet twijfelden, ook al zagen wij duidelijk in, dat de bewijzen niet aan de eisen van strenge logica voldeden. Dit is een uitstekende methode, immers wanneer men langs heuristische weg eerst enige kennis van de problemen heeft verworven en weet, hoe de stellingen vermoedelijk luiden, dan is het, zoals Archimedes in zijn "Methode" reeds opmerkt, veel gemakkelijker, de bewijzen te vinden, dan zonder voorafgaande kennis.

Het beste voorbeeld van deze doceermethode, die De Vries met zulk een virtuositeit wist toe te passen, is zijn college Inleiding tot de Meetkunde van het Aantal, dat ook als boek is verschenen. Als leidraad nam hij Schubert's Kalkül der abzählenden Geometrie. Hoe goed wist hij door zorgvuldig gekozen voorbeelden de verbluffende kracht van Schubert's methoden duidelijk te maken! En als soms bij ons twijfel aan de betrouwbaarheid van deze methoden opkwam, dan citeerde hij Cauchy: "Continuez toujours, et la foi vous viendra".
Bron: B. L. VAN DER WAERDEN

Bartel Leendert van der Waerden


Buitengewoon interessant was ook het college over Geschiedenis van de Wiskunde, dat Hendrik de Vries 's Zaterdags placht te geven. Zijn belangstelling gold vooral de grote Franse meetkundigen. Hoe boeiend wist hij te vertellen over het ontstaan van de Analytische Meetkunde, over het onbegrepen Brouillon Projet van Desargues, over de geniale jongeling Blaise Pascal, en vooral over Gaspard Monge, die als leerling aan de Ecole Militaire door enkele eenvoudige constructies een vraagstuk oploste, waar zijn medescholieren dagen lang aan rekenden, en die daarbij tevens de Beschrijvende Meetkunde had uitgevonden! Al deze onderwerpen heeft De Vries, op de hem eigen onderhoudende en aanschouwelijke wijze, ook in zijn Historische Studiën behandeld.

Nog zie ik zijn scherp gesneden gezicht voor mij, nog zie ik hem zijn stokje hanteren en hoor ik zijn stem. Menige geestige opmerking maakte hij zo en passant. Hij placht dan één van de studenten met name toe te spreken: "Ja, heer Smid, ... " en dan kwam er een weemoedige bespiegeling over het menselijke leven. Maar de vreugde over de schoonheid van de wiskunde en het genot, ontvankelijke jonge mensen die schoonheid mee te doen beleven, hielpen hem telkens weer over zijn melancholie heen.
Bron: B. L. VAN DER WAERDEN

Luitzen Egbertus Jan Brouwer


Brouwer (1881 - 1966) verrichtte baanbrekend werk op twee gebieden: de topologie en de grondslagen van de wiskunde. In de topologie (meetkunde der continue verschijnselen) forceerde hij een doorbraak met de introductie van nieuwe methoden en begrippen, bijv. simpliciale approximatie en afbeeldingsgraad. De spectaculairste onder Brouwers resultaten op dit gebied zijn de invariantie van dimensie (1910), de dekpuntsstelling (1911), van de stelling van de Jordan-kromme en zijn hoger dimensionale generalisatie (1910). In 1913 gaf Brouwer een definitie van dimensie; dat hij hiermee de eerste zou zijn geweest die tot zulk een definitie kwam werd later (1928) door K. Menger (ten onrechte) aangevochten. Het topologisch werk van Brouwer valt voornamelijk vóór 1920. Vanaf 1918 werkte Brouwer aan een constructieve opbouw van de wiskunde. Brouwers zg. intuïtionistische wiskunde was gebaseerd op de idee van wiskunde als mentale activiteit van de mens. Dit bracht hem in conflict met het zg. formalisme onder leiding van David Hilbert (1862-1943). De hieruit voortvloeiende grondslagenstrijd bestreek het grootste deel van de jaren twintig en werd met ongewone felheid gevoerd. Een uitvloeisel was de zg. Mathematische Annalenaffaire (1927), waarbij Hilbert Brouwer als redacteur wilde ontslaan op grond van zijn gevaarlijke invloed. Uiteindelijk trad de hele redactie af en werd Brouwer niet herbenoemd. In een reactie op deze kwetsende behandeling richtte hij in 1934 het tijdschrift Compositio mathematica op. Vanaf de jaren dertig nam zijn wiskundige activiteit af, om plotseling na de Tweede Wereldoorlog weer op te bloeien met een reeks verrassende artikelen. Het intuïtionisme trok weinig beoefenaren - Hermann Weyl steunde Brouwer een tijdlang - en hier ten lande zette Arend Heyting de studie van de intuïtionistische wiskunde voort. Na de jaren zestig nam de beoefening ook in het buitenland toe, thans is het intuïtionisme een erkende, en niet langer bestreden, stroming in de filosofie van de wiskunde.

Brouwers intuïtionisme had een aantal negatieve aspecten. Zo was voor hem de wiskunde essentieel taalloos, een geheel interne, mentale activiteit van de mens, hierdoor kreeg de taal een louter begeleidende, secundaire rol. Evenzo bestreed hij de autonomie van de logica. Intuïtionistisch bezien is logica een produkt van de wiskunde, en niet een zelfstandige discipline waarop de wiskunde gefundeerd zou zijn. Maar zelfs als afgeleide discipline verliest de logica op intuïtionistische grondslag een aantal gangbare wetten. De bekendste door Brouwer verworpen wet is 'het principe van de uitgesloten derde', dat zegt dat voor iedere uitspraak A, óf wel A, óf wel niet-A geldt. Het formalisme, dat de wiskunde beschouwt als een formeel inhoudsloos spel met symbolen, werd door Brouwer met alle kracht bestreden.

Bron:  D. van Dalen
Het intuïtionisme van Brouwer.pdf
De grondslagenstrijd.pdf

Eduard Jan Dijksterhuis


Dijksterhuis' (1892 - 1965) meesterwerk De mechanisering van het wereldbeeld uit 1950 behandelt de geschiedenis van de exacte wetenschappen vanaf de Oudheid tot aan het ontstaan van de klassieke mechanica. Het boek is geïnspireerd op Die Mechanisierung des Weltbildes im 17. Jahrhundert (1938) van Anneliese Maier, en werd een internationaal standaardwerk van de wetenschapsgeschiedenis.

Louis Locher-Ernst


"Louis Locher-Ernst (1906-1962) werd geboren in Bern, Zwitserland op 7 mei 1906. Op 10-jarige leeftijd verhuisde zijn familie naar Zürich. Op een gegeven moment onderbreekt hij zijn studie en besluit hij zelf filosofie en epistemologie te gaan studeren. In 1923, op 18-jarige leeftijd, hoorde hij Rudolf Steiner voor het eerst tijdens het kerstcongres waar de Antroposofische Vereniging opnieuw werd opgericht. In 1924 keerde hij terug naar school. In 1926 begon hij wiskunde en astronomie te studeren, tegelijkertijd werd hij directeur van de antroposofische afdeling Pestalozzi in Zürich. Tegelijkertijd zet hij zijn studies epistemologie en muziek voort. In 1930 studeerde hij cum laude af. Datzelfde jaar trouwde hij met Anna Katherina Ernst, uit wiens huwelijk twee dochters werden geboren. In april 1932 begon hij te werken als professor aan het Winterthur Technical Institute, waar hij in 1937 werd benoemd tot vice-rector. Na de oorlog, sinds 1946, doceerde hij wiskunde aan de universiteit. In 1951 werd hij benoemd tot directeur van het Winterthur Technisch Instituut.

Locher bestudeert Steiner's aanwijzingen over het belang van projectieve meetkunde en creëert leerboeken over het onderwerp. Dan ontdekt hij een wiskundige benadering van het idee van de tegenruimte die Rudolf Steiner had ontwikkeld om de kosmos op spirituele basis te begrijpen. In zijn exposities ontwikkelt Locher het wiskundige aspect in de vorm van polair-euclidische meetkunde en laat hij het aan andere onderzoekers over om de juiste relatie met de fenomenen van de natuurwetenschap te vinden. Hij duikt in de principes van polariteit en metamorfose en genereert er een wiskundige basis voor. Deze essays zijn samengebracht in zijn boek "Geometrische Metamorphoses". In de antroposofische stroming staat Locher bekend om zijn essays in het weekblad Das Goetheanum die later zullen worden verzameld in het boek 'Mathematik als Vorschule zur Geist-Erkenntnis". Van 1953 tot 1962 was hij directeur van de wiskundig-astronomische sectie van het Goetheanum en in 1962 werd hij lid van de raad van bestuur van de Antroposofische Vereniging, maar stierf op 15 augustus van hetzelfde jaar."(*)      Bron: Pau de Damasc
(*) DJA: Hij overleed tijdens een bergbeklimming in de Alpen, zoals hij die al vaker ondernomen had.
Klinkenberg.pdf



Historisches Lexikon der Schweiz: "7.5.1906 Bern, 15.8.1962 Silenen (Bergunfall), ref., von Bern. Sohn des Eduard und der Wilhelmine geb. Schmidl. 1930 Anna Katharina Ernst. Stud. der Mathematik, 1930 Promotion. Ab 1932 am Technikum Winterthur tätig, dort 1937-51 Vizedirektor und 1951-62 Direktor. Ab 1946 Lehrauftrag an Univ. und ETH Zürich. Zahlreiche wissenschaftl. Publikationen, Herausgeber der Zeitschrift "Elemente der Mathematik". Arithmetik und projektive Geometrie als Forschungsschwerpunkte, Idee vom "Gegenraum" als Überwindung dreidimensionaler Raumvorstellungen. In jungen Jahren Hinwendung zur Anthroposophie, 1937-62 Leiter der mathemat.-astronom. Sektion am Goetheanum in Dornach, kurze Zeit im Vorstand der Allg. Anthroposophischen Gesellschaft."

Locher-Ernst beschreef in 1940 "das Vollständige Koordinatensystem". Zie voor een beschrijving hiervan de pagina --> De ionabrug.

Kurt Gödel


Kurt Gödel (1906 - 1978), geboren op 28 april 1906 in Brünn, Oostenrijk – tegenwoordig zouden we het Brno, Tsjechië noemen – is volgens velen de belangrijkste wiskundige van de twintigste eeuw, de man die met zijn Onvolledigheidsstelling de hele wiskunde op zijn kop heeft gezet. Volgens velen. Zelf ben ik geneigd de eerste prijs toe te kennen aan onze eigen Blaricumse grootmeester Luitzen Egbertus Johannes (Bertus) Brouwer – ik leg straks uit waarom – maar Kurt Gödel komt zeker op een goede tweede plaats. Einstein bijvoorbeeld had hem heel hoog zitten. Toen Einstein in Princeton werd gevraagd waarom hij iedere dag naar het Institute for Advanced Studies liep, terwijl hij zijn werk toch net zo goed vanuit huis zou kunnen doen, antwoordde hij: ‘Dan mag ik tenminste iedere dag met Gödel wandelen.’

Zijn roem heeft Gödel vrijwel alleen te danken aan zijn Onvolledigheids-stelling. Wat houdt die stelling in? Glad ijs. Eerst even technisch. Het artikel waarin Gödel in 1931 zijn fameuze stelling bewees, had als titel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme.

Dat zal niet veel ophelderen. We beginnen helemaal bij het begin. In de wiskunde zijn dat de getallen 0, 1, 2, 3, … enzovoorts. Enzovoorts: we hopen inderdaad dat we op die manier oneindig lang kunnen doortellen. Verder hebben we een paar bewerkingen tussen de getallen nodig zoals optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen. Daarmee kunnen we alle wiskunde maken. Tenminste, als we nog wat regels over gezond redeneren toevoegen, zoals: als B uit A volgt en C uit B, dan volgt C uit A. Deze basiselementen en de redeneerregels vormen de axioma’s van ons wiskundig systeem. En eigenlijk van alle wiskundige systemen: van de Principia Mathematica en alle daaraan verwante systemen. En dat zijn ze zo’n beetje allemaal.

Nu zegt Gödel in zijn stelling: ja, vanuit die axioma’s kun je met je redeneerregels heel veel heel mooie stellingen bewijzen (zoals: er zijn oneindig veel priemgetallen, of: π is niet te schrijven als een breuk van twee gehele getallen). Maar niet alles! Er zijn beweringen die waar zijn, maar die niet met de regels van het systeem zijn te bewijzen. Het systeem is niet volledig. Vergelijk het met een boom met heel veel takken, waarbij iedere tak staat voor een bewering die je uit de axioma’s kunt afleiden. Tussen de bladeren zweven dan nog steeds beweringen die waar zijn maar niet via een tak te bereiken. Hoe verfijnd je je takken ook maakt. Hoe je kunt zien dat die vermaledijde rondzwevende bewering toch waar is terwijl je er niet via een tak kunt komen, dat is een ander verhaal. Daarvoor moet je echt naar het bewijs van de stelling zelf, en dat is knap ingewikkeld. Budiansky heeft er in zijn biografie een appendix van 6 pagina’s voor over, en dan nog raakt hij alleen maar de buitenkant. Verder kun je ook niet gaan in zo’n boek, het hele bewijs is echt moeilijk.

Het is inmiddels 1928 als Gödel in Bologna een lezing van de beroemde Duitse wiskundige David Hilbert bijwoont. Hilbert beweert dat het mogelijk moet zijn om uit de axioma’s van een formeel systeem alle ware beweringen van dat systeem af te leiden. Het is het moment waarop zijn carrière een beslissende wending neemt. Drie jaar later publiceert hij zijn Onvolledigheidsstelling. Hilbert heeft ongelijk. De wereld, of in ieder geval de wiskunde, zou nooit meer hetzelfde zijn.


Is Gödel de grootste wiskundige van de twintigste eeuw? De Onvolledigheidsstelling is een landmark, dat zeker, een stelling waarmee in één klap het ambitieuze programma van Hilbert ten grave werd gedragen. Maar toch even terug naar Brouwer. Bertus Brouwer liet nog voor Gödels Onvolledigheidsstelling zien dat het principe van het uitgesloten derde (Tertium non datur) niet klopte. Dit principe, waar de logica al sinds Aristoteles op rustte, stelde: een bewering A is waar (A) òf hij is niet waar (-­A), een derde mogelijkheid is er niet. Brouwer construeerde een bewering waaraan je principieel niet kunt zien of hij waar of niet waar is. Een derde mogelijkheid, misschien is die er toch, aldus Brouwer. Niet alleen Hilbert zat ernaast, ook Aristoteles en alle logici na hem hadden het mis. De logica, ook de logica, zou nooit meer hetzelfde zijn.
)

Arend Heyting


Arend Heyting (1898 - 1980) is bij L. E. J. Brouwer gepromoveerd op het proefschrift Intuïtionistische axiomatiek der projectieve meetkunde. In de inleiding van zijn boek Projectieve Meetkunde (1964) gaat Heyting kort in op twee belangrijke kwesties, een historische en een axiomatische.

"Het is belangrijk voor de geschiedenis zowel van de beeldende kunst als van de wiskunde, dat zij" - de studie van het perspectief (DJA) - "onder schilders en architecten van de 15e eeuw opgang heeft gemaakt. ... Een zeer belangrijke opmerking was, dat projecties van evenwijdige lijnen, behalve in bijzondere gevallen, niet weer evenwijdig zijn. ... Dit bracht de Franse architect Girard Desargues omstreeks 1635 er toe, een verzameling evenwijdige lijnen te beschouwen als de verzameling van de lijnen door een oneigenlijk punt."

Heyting onderkent hier dat de Europese cultuurovergang van de middeleeuwen naar de renaissance niet alleen met wetenschappelijke, maar ook met kunstzinnige vindingen gepaard is gegaan. Dit verdraagt de gedachte, dat de ontdekking van de projectieve meetkunde past bij de verschuiving van het wereldbeeld van de Europese mens.

"Over de oneigenlijke punten, ook wel "punten in het oneindige" genoemd, is heel veel onzin verteld. Men probeert zich voor te stellen, dat zij oneindig ver van ons verwijderd zijn, en zegt, dat twee evenwijdige lijnen elkander 'in het oneindige' snijden,  ... Twee evenwijdige lijnen snijden elkaar niet en daarmee uit.  ...
Een oneigenlijk punt is de verzameling van alle lijnen,
evenwijdig met een gegeven lijn, deze lijn inbegrepen.
 ... (Uit deze inleiding) volgt namelijk, zoals we zullen zien,  ... dat het euclidische vlak, aangevuld met oneigenlijke punten, als een voorbeeld van een projectief vlak beschouwd kan worden."



Enerzijds wordt met duidelijke taal aan parallelle lijnen een snijpunt ontzegd. En terecht. Maar dan maakt Heyting een ongelukkige keuze door het oneigenlijke punt te definiëren als een lijnenverzameling, overeenkomend met een lijnenwaaier. Lijnenwaaiers zijn echter omvangrijker dan het punt, waarop ze gelegen zijn. Deze ongerijmdheid is eenvoudig te herstellen door het oneigenlijke punt te definiëren als:

de gemeenschappelijke richting van parallelle lijnen,
ofwel de richting van een lijn (*).

Bovendien is zijn dubieuze "aanvulling" van het euclidische vlak dan nodig noch mogelijk. Zo'n aanvulling suggereert toch weer een uitbreiding ergens in de oneindige verte, terwijl Heyting kort tevoren nog terecht had gewaarschuwd voor dat soort (vage) voorstellingen. Zo zie je maar, dat het niet alleen voor de leek een worsteling is om zich te bevrijden van denkgewoonten en voorstellingen, die zijn wiskundige ontwikkeling in de weg staan.

(*) Robert-Jan van Egmond gaf naar aanleiding van deze opmerking het advies om het begrip punt te veralgemenen met de naam punctum en het begrip lijn met de naam linea:

De naam punctum omvat de eigenlijke punten èn de richting van elke lijn.
Alle puncti zijn incident met één linea.
De naam linea omvat daarnaast nog de eigenlijke lijnen.

Deze definitie zou de begripsverwarring voorkomen, die ontstaat met wiskundig ingeburgerde woorden, bij voor de hand liggende euclidische definities, waar ik zelf, vanwege de onwennige klanken van punctum en linea, meer voor voel, zoals:
Het oneigenlijke punt van een lijn is de richting van die lijn.
De oneigenlijke lijn van een vlak is incident met alle richtingen binnen dat vlak .
Het oneigenlijke vlak in een ruimte is incident met alle richtingen in die ruimte.
Lezers zijn van harte uitgenodigd hieronder hun eigen mening te geven, die uitsluitend met toestemming wordt weergegeven.

Johan Hendrik Wansink



(1894-1985)

Th. J. Korthagen (DOW III) over pool en poollijn

(DOW II) over 4 hoekbegrippen
Franse invloed op de schoolmeetkunde in Nederland.pdf
Begrip en Inzicht.pdf

Pierre van Hiele


De Van Hiele-niveaus of Van Hiele-theorie of het Van Hiele-model is een onderwijs- en leertheorie van meetkunde, ontwikkeld door het Nederlandse echtpaar Pierre en Dina Van Hiele-Geldof in hun dissertaties aan de Universiteit Utrecht in 1957. De theorie werd internationaal bekend door het boek Structure and Insight: A theory of mathematics education. (De auteur Pierre van Hiele overleed op 1 november 2010 op 101-jarige leeftijd in zijn woonplaats Den Haag.)

Er zijn vijf Van Hiele-niveaus, van 0 tot 4 (de notatie 1 tot 5 bestaat ook).

  • Niveau 0 : Visualisatie
  • Niveau 1 : Analyse
  • Niveau 2 : Ordening of classificatie
  • Niveau 3 : Informele deductie
  • Niveau 4 : Formeel

Het basisidee van het model is dat meetkunde geleerd wordt via graduele denkniveaus. Deze niveaus zijn niet aan leeftijd gebonden en hebben de volgende eigenschappen:

  • Niveau n kan niet worden bereikt zonder het voorgaande niveau n-1 te hebben meegemaakt, oftewel de vordering van de leerlingen door de niveaus kan maar op één manier.
  • Wat impliciet was in een denkniveau, keert in het volgende niveau terug als expliciet.
  • Elk niveau heeft zijn eigen taal (linguïstische symbolen) en betekenis (verband van deze symbolen met een betekenis).
  • Twee leerlingen met verschillende niveaus kunnen elkaar niet begrijpen.
100 jaar Van Hiele.pdf
De kennismaking met vektoren in de onderbouw.pdf

Nikolai Vladimirovich Efimov


Nikolai Vladimirovich Yefimov (Russian: Никола́й Влади́мирович Ефи́мов; 31 May 1910 in Orenburg – 14 August 1982 in Moscow) was a Soviet mathematician. He is most famous for his work on generalized Hilbert's problem on surfaces of negative curvature.

Yefimov grew up in Rostov-on-Don and graduated from Rostov State University, where he studied with Morduhai-Boltovskoi. He worked at Voronezh State University from 1934 to 1941. He taught at the Moscow State University since 1946. Aleksei Pogorelov was one of his students there.

He received the Lobachevsky Prize in 1951 and Lenin Prize in 1966. He was an invited plenary speaker at the International Congress of Mathematicians in Moscow, 1966. He became a corresponding member of the Academy of Sciences of the Soviet Union in 1979.

Bron: Wikipedia


Herbert Meschkowski


Herbert Meschkowski (1909 - 1990) groeide op in eenvoudige omstandigheden. In 1927 begon hij natuurkunde en wiskunde te studeren, onder meer bij Erhard Schmidt en Ludwig Bieberbach aan de toenmalige Friedrich-Wilhelms-Universität in Berlijn, waar hij in 1931 met een zeer goed staatsexamen afstudeerde bij Georg Hamel (1877 - 1954). Na een juridische stage (1932–1934) en een assessorexamen (1934), gaf hij twee jaar les aan moeilijk op te voeden kinderen aan de Evangelisches Johannesstift Berlin. Daar ontmoette hij de opvoeder Magdalena Meitz, met wie hij in 1936 trouwde.

In hetzelfde jaar veranderde hij in een wiskundeleraar aan een middelbare school in Berlijn-Pankow en in 1939 werd hij leraar. Tijdens de oorlogsjaren werkte hij voornamelijk als meteoroloog in dienst van de Wehrmacht. In 1950 promoveerde hij onder Alexander Dinghas op het onderwerp "Over de conforme afbeelding van bepaalde gebieden met een oneindig hoge correlatie met volledige cirkelgebieden". Meschkowski was hoogleraar aan de Vrije Universiteit van Berlijn en de Berlijnse Universiteit voor Onderwijs. Van 1962 tot 1964 was hij rector van de Berliner Hogeschool. Hij hield zich bezig met functionele theorie en functionele analyse, vakdidactiek en vakgeschiedenis en publiceerde tal van studieboeken.


Meschkowski hield zich ook bezig met de geschiedenis van de wiskunde, redigeerde de brieven van Georg Cantor, schreef zijn biografie en een geschiedenis van de wiskunde in Berlijn. Hij heeft verschillende boeken over wiskunde geschreven voor een breder publiek. Hij nam ook deel aan interdisciplinaire projecten: hij gaf de lezing 'De wereld en het menselijk beeld van de moderne natuurwetenschappen' samen met de PH-docenten Auguste Hoffmann (menselijke biologie), Walter Bünger (natuurkunde), Volkmar Denckmann (plantkunde), Martin Hengst (voedingswetenschap) en Reinhold Scharf (scheikunde).           Bron: Wikipedia
Herbert Meschkowski.pdf

Bob van Rootselaar


"Van Rootselaar werd in 1927 geboren in Amsterdam als jongste kind van Willem van Rootselaar. Hij studeerde wiskunde aan de Universiteit van Amsterdam en promoveerde daar bij Arend Heyting op een proefschrift getiteld "Generalization of the Brouwer integral". Hij bewees daarin de stelling van Egoroff voor de Brouwer-integraal. Hij werkte bij het Mathematisch Instituut in Amsterdam en werd later benoemd tot hoogleraar zuivere wiskunde en analyse aan de (toenmalige) Landbouwuniversiteit Wageningen. Zijn wiskundecolleges, die werden gelardeerd met subtiele, soms ietwat spottende humor, werden door de studenten massaal geloofd en geprezen. ...
Bron: Bram van Putten



Daarnaast had ook de wiskundedidactiek zijn warme belangstelling, tot uitdrukking komend in wekelijkse werkzaamheden die hij gedurende vele jaren verrichtte voor de lerarenopleiding COCMA te Utrecht. Van Rootselaar was een veelzijdig wiskundige, onder meer blijkend uit de vele en zeer gevarieerde bijdragen aan Mathematical Reviews en Zentralblatt. Naast zijn werk op het gebied van de logica, publiceerde hij ook een fundamentele bijdrage aan de theorie van de lineaire differentiaalvergelijkingen. Hij heeft daarnaast de internationale wiskundige gemeenschap een onschatbare dienst bewezen door het minutieuze werk dat hij gedurende decennia verrichtte aan de Bernard Bolzano Gesamtausgabe, een zeer ambitieus project waaraan Van Rootselaar tot in de laatste week van zijn leven heeft gewerkt. Na zijn emeritaat in 1988 verhuisde hij terug naar Amsterdam, waar hij in 2006 overleed."             Bron: Bram van Putten

"... Later heb ik mogen genieten van Bob van Rootselaar, van Herman Koningsveld en van Fred van der Blij. Dit waren allemaal grote geleerden en briljante docenten. College volgen bij briljante docenten maakt dat je nooit meer genoegen neemt met slecht onderwijs. ...", aldus socioloog Abraham de Swaan in de NRC (2002).
Inderdaad bleef bij van Rootselaar de collegezaal vol tot het eind. Dáár kreeg je waar voor je geld. Hij heeft vele promovendi begeleid en diverse boeken geschreven.
Met wiskundige zekerheid.pdf
G F C Griss.pdf
Het wondere onderzoekingsveld der vlakke meetkunde.pdf

A. E. Bosman



Arnold Bernhard


Geboren am 31.08.1926 in Winterthur/Schweiz, hat 25 Jahre an Ober- und Mittelstufe der Rudolf Steiner Schule in Basel unterrichtet. Viele Jahre war er in der Lehrerbildung, insbesondere am Seminar für Waldorfpädagogik in Stuttgart wie auch in anderen Lehr- und Forschungseinrichtungen tätig. Arnold Bernhard starb am 01.10.2007.
Bron: Verlag Freies Geistesleben

Bernhard is wiskundeleraar van Renatus Ziegler geweest.

Dirk van Dalen


 (1932, Amsterdam) is a Dutch mathematician and historian of science.

Van Dalen studied mathematics and physics and astronomy at the University of Amsterdam. Inspired by the work of Brouwer and Heyting, he received his Ph.D. in 1963 from the University of Amsterdam for the thesis Extension problems in intuitionistic plane Projective geometry. From 1964 to 1966 Van Dalen taught logic and mathematics at MIT, and later Oxford. From 1967 he was professor at the University of Utrecht. In 2003 Dirk van Dalen was awarded the Academy Medal 2003 of the Royal Dutch Academy of Sciences for bringing the works of Brouwer to international attention.[1]

Bron: Wikiwand

Renatus Ziegler



Born in Basel 1955, where he attended the Rudolf Steiner school. He studied Mathematics and Theoretical Physics at the Swiss Federal Institute of Technology (ETH) in Zürich. He did his doctorate in 1985 on geometrical Mechanics at the Kassel University, Germany.

He spent two years dedicated to research and teaching in universities in the USA, and later in the Section for Mathematics and Astronomy, School for Spiritual Science, at the Goetheanum in Dornach, Switzerland.
2001 to 2015, scientific researcher in the Association for Cancer Resarch in Arlesheim Switzerland, focusing on methods of clinical studies and pharmaceutical quality control in complementary medicine. Beside this, he taught mathematics, logics, gnoseology, ethical individualism and philosophical principles of anthroposophy in various seminar courses. Since 2011, he has participated in the Philosophicum in Basel. 2015-2018 Director for Pharmacovigilance and Quality Management at the Iscador AG Company in Arlesheim, Switzerland. Since 2019 he works as an editor in the Rudolf Steiner Archive.       Bron: Rudolph Steiner Archiv

Bas Edixhoven


Sebastiaan Johan „Bas“ Edixhoven (1962 - 2022) ist ein niederländischer Mathematiker, der sich mit Zahlentheorie und arithmetischer algebraischer Geometrie beschäftigt.

Edixhoven studierte an der Universität Utrecht, wo er 1985 sein Diplom machte und 1989 bei Frans Oort (und Bert van Geemen)[1] promoviert wurde (Stable models of modular forms and applications). 1989 bis 1991 war er Assistant Professor an der University of California, Berkeley und dann ein Jahr als Huygens Stipendiat in Utrecht. 1992 bis 2002 war er Professor an der Universität Rennes I (ab 1998 mit voller Professur)[2] und danach Professor an der Universität Leiden. 1997 war er Miller Visiting Professor in Berkeley und 1998 am Tata Institute of Fundamental Research.

Edixhoven erzielte teilweise mit seinem Schüler Andrei Yafaev Resultate in Bezug auf die Vermutung von Yves André und Frans Oort über Untervarietäten von Shimura-Varietäten, das heißt, er gab Beweise für Spezialfälle.[3] Neben arithmetischer algebraischer Geometrie, Modulformen und Zahlentheorie beschäftigt er sich mit fehlerkorrigierenden Codes (worüber er mit Auftrag des französischen Verteidigungsministeriums und Canon forschte).

Seit 2003 ist er Mitherausgeber von Compositio Mathematica und von 1998 bis 2004 des Journal de Theorie des Nombres des Bordeaux. Er ist Mitherausgeber von Expositiones Mathematicae und des Journal of Number Theory.

1989 bis 1992 war er Constantin und Christiaan Huygens Fellow der niederländischen Forschungsorganisation (N.W.O). 1995 bis 2002 war er Mitglied des Institut Universitaire de France. Er ist seit 2009 Mitglied der Niederländischen Akademie der Wissenschaften (nachdem er 2001 schon korrespondierendes Mitglied war). 2008 war er Invited Speaker auf dem Europäischen Mathematikerkongress (On the computation of coefficients of modular forms).

Klaas van Berkel


Van Berkel (1953) studeerde geschiedenis en filosofie aan de Rijksuniversiteit Groningen, en promoveerde in 1983 aan de Universiteit Utrecht op een proefschrift over Isaac Beeckman (1588-1637) en de mechanisering van het wereldbeeld.[2]

Nadien werkte hij eerst als wetenschappelijk medewerker bij de Open Universiteit en doceerde hij geschiedenis der natuurwetenschappen aan de Landbouwhogeschool te Wageningen. In 1988 werd hij - als opvolger van Ernst Kossmann - benoemd tot hoogleraar Geschiedenis na de Middeleeuwen aan de Rijksuniversiteit Groningen. Van 1992 tot 1999 was hij directeur van het Rudolf Agricola Instituut.

Vanaf 1988 werkte Van Berkel ook als redacteur bij verschillende tijdschriften en in verschillende administratieve functies en commissies. Sinds 1997 is hij lid van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW).[3]

Nawoord bij De Mechanisering van het Wereldbeeld.pdf
Wiskunde als cultuurelement in de zeventiende eeuw.pdf