Waarschuwing

Deze pagina bevat wiskundige taal met formules.
Don't try this at home!

Wassili Kandinsky


Wassily Kandinsky (Russisch: Василий Васильевич Кандинский, Vasili Vasiljevitsj Kandinski) (Moskou, 16 december[1] 1866 – Neuilly-sur-Seine, 13 december 1944) was een Russisch-Franse kunstschilder en graficus. Zijn schilderstijl behoorde aanvankelijk tot het expressionisme, soms ook wel gerekend tot het symbolisme. Kandinsky was een van de schilders die vorm en filosofische ondergrond gaf aan de abstracte kunst in het eerste kwart van de twintigste eeuw.  Bron: Wikipedia

Een harmonisch net

Het gebruikelijke vlakke coördinatenstelsel is een harmonisch net. Dit begint met de driehoek XY(xy). De roze eenheidsvierhoek is bepaald met een eenheidspunt of een eenheidslijn.

Driehoek XY(xy) is een weergave van de incidentiepostulaten van Euclides:
(1) Elk paar punten heeft één gezamenlijke lijn.
(2) Elk paar lijnen heeft één gezamenlijk punt òf één gezamenlijke richting.

De constructiestappen worden weerspiegeld in de coördinaatgetallen van de roosterlijnen. Deze roosterlijnen bestaan uit twee lijnenwaaiers: een waaier van x-lijnen op een Y-punt en een waaier van y-lijnen op een X-punt. 


De coördinaatgetallen drukken geen fysieke maat uit, maar een vaste constructievolgorde, die qua ligging uitsluitend van een vrij gelegen eenheidspunt binnen een vrije incidentiedriehoek afhankelijk is. Een rechthoekig positiestelsel ontstaat door de eenheidsvierhoek om te vormen in een vierkant.

Het volledige coördinatenstelsel

Het is gebruikelijk om punten met een hoofdletter te benoemen. Copunten benoemen we met een kleine letter. Binnen de vlakke meetkunde is het copunt een lijn. In de figuur hiernaast is het gele punt met coördinaten (1, 2) op de conventionele manier weergegeven in een cartesisch x-y-assenstelsel met de coördinaatlijnen x[1] en y[2].

Dit assenstelsel is uitgebreid met lijncoördinaten, waarvan de coördinaatpunten X(1) en Y(2) zijn aangegeven. De overige coördinaatpunten liggen op de x- en y-as. De indexnummers van deze punten worden gevormd door de stambreuken van de indexnummers van de coördinatenlijnen, waarmee ze samen vallen. Dit samenvallen wordt "incident zijn" genoemd.

De coördinaatpunten dienen om ook de lijn als gelijkwaardig ruimtelijk element te voorzien van coördinaten. Zo ligt de lijn [1, 2] op de punten X(1) en Y(2) en is de horizontale lijn [0, 2] incident met de punten Y(2) en X(0). Deze laatste coördinaat is geen eigenlijk punt, maar de richting(svector) λ(1, 0), die voldoet aan de eisen, die de postulaten van Euclides aan het begrip punt stellen. Dit volledige stelsel is een ruimtemodel van de standaard incidentierelatie
x · X + y · Y = 1

Dit betekent dat een lijn en een punt incident zijn, als hun coördinaten in dit stelsel voldoen voldoen aan deze incidentievergelijking. Zo kun je bijvoorbeeld nagaan dat lijn [3, 3] incident is met punt (1, 2). De lijn als functie is een puntenrij {(x, y)| a · x + b · y = 1}. Deze puntenverzameling voldoet aan een eerstegraads- ofwel lineaire vergelijking, waarvan de constanten a en b kunnen worden opgevat als lijncoördinaten. Voor de snijpunten X en Y  met de x- en y-as geldt dan:
X(a) = (1/a, 0) en Y(b) = (0, 1/b)

Elke incidentievergelijking is bilineair. Gevolg is dat elke incidentievergelijking (f) een optelling is van een symmetrisch deel (g) en een antisymmetrisch deel (h): f = g + h. Voor de duale incidentievergelijking f* geldt daarom:
f* = g* + h* = g - h --> f + f* = 2g en f - f* = 2h
Bij incidentie van partnerelementen (x, y) en [x, y] verdwijnt het antisymmetrische deel (h), zodat incidente partners van ELKE (bilineaire) incidentievergelijking een KEGELSNEDE vormen, die wordt voortgebracht door het symmetrische deel (g).

Kandinsky College

De blauwe knop geeft een toepassing van het volledige positiestelsel op 4 vraagstukken uit Getal en Ruimte B5VWO aangevuld met wat theorie ten behoeve van gastlessen in mei 2022 aan het Kandinsky College te Nijmegen

Hoofdstuk 5 Opgave 24+25.pdf

De zojuist gegeven opgaven gebruiken dualiteit in de vorm van een beknopt algoritme, dat doet denken aan iets wat ooit bekend stond als "Eerlijk delen" en als ezelsbruggetje werd geleerd, maar niet werd uitgelegd of met dualiteit in verband gebracht. Wie bekend raakt met dualiteit leest de uitdrukking "Eerlijk delen" als: "Puntenruimte en copuntenruimte hebben beide recht op erkenning".

De knop onder geeft ter vergelijking 3 gebruikelijke algoritmen.

Eindexamen of schoolonderzoek bevatten mogelijk een vraag over raaklijnen vanuit een punt buiten een cirkel. Het "eerlijk delen"-algoritme gebruikt het volledige coördinatenstelsel en is beknopt, waardoor de kans op het maken van rekenfouten kleiner wordt en je tijd en energie overhoudt voor de overige examenopgaven. Ook biedt de beschreven werkwijze en theorie degelijk en exclusief materiaal voor een fraai wiskundig profielwerkstuk. Voor advies en begeleiding voor een profielwerkstuk kun je terecht bij Robert van Egmond (docent aan het Kandinsky) en Dirk Adrichem (zie de homepage). De methode werkt niet alleen voor de cirkel, maar ook voor ellips, parabool, hyperbool en elke differentieerbare curve (zie hieronder de tabel van raaklijncurven). Hieronder staan nog een paar thema's voor fantastische profielwerkstukken. Overleg met je eigen docent en bovenvermelde personen zorgt ervoor dat je aan een uniek profielwerkstuk werkt.

opgave25.pdf

Introductie van dualiteit


Les 1: de vlakruimtelijke elementen punt (0) en lijn (
)

Nut van dualiteit

Les 2: rechtstreeks vinden van raaklijnen

met behulp van het volledige coördinatenstelsel

10 Reacties van de leerlingen

Een kwart van de leerlingen gaf anoniem aan hoe de twee gastlessen hen zijn bevallen. De antwoorden zijn stuk voor stuk begrijpelijk en waren ook te verwachten. Samen hebben we met 5e-klassers in een ongelooflijk korte tijd van ruim anderhalf uur (!) een thema verkend, dat in de schoolwiskunde zo goed als onbekend is. Dualiteit zou heel goed kunnen worden opgenomen in de wiskunde-leerlijn. Net als met de andere thema's vraagt dit een geduldige opbouw vanaf de eerste klas, die spiraalsgewijs terugkeert, zodat leerlingen rustig kunnen wennen.

Een deel van de reacties geeft aan dat men van zichzelf verwachtte alles te hebben kunnen volgen. Dat is te hoog gegrepen en werd ook niet verwacht, omdat daarmee meer tijd gemoeid zou zijn. Het is al heel wat dat er een tip van de sluier kon worden opgelicht en nieuwsgierigheid werd gewekt. Ik heb dat niet expliciet tevoren gezegd, omdat ik de eigen leraren, die ook aanwezig waren en zelfs een toets hadden willen afnemen, niet voor de voeten wilde lopen. Waren dit mijn eigen leerlingen, dan had ik de tijd willen nemen om op alle vragen in te gaan. Voor degenen, die dat zouden willen, kan dit alsnog via het emailadres onderaan de pagina.

Als gastdocent/gastspreker prijs ik me niet alleen gelukkig met deze uitkomst, maar natuurlijk ook met het staand applaus aan einde van de tweede (gezamenlijke) les. De reacties laten voor een belangrijk deel ook zien dat er kwartjes zijn gevallen en we te maken hadden met twee intelligente en oplettende groepen. Het applaus gaf aan dat een verborgen snaar in beweging gekomen was, bij deze actief deelnemende leerlingen.

De beeldende introductie van punt, lijn, puntenrij en lijnenwaaier van de eerste les kwam in de tweede les tot leven met een toepassing binnen het hoofdstuk, waarover de klassen een maand of twee geleden zich gebogen hadden.

Raaklijnen aan een cirkel vanuit een punt; het algemene geval


Het tweede lesuur culmineerde in het vraagstuk:
"Geef de vergelijkingen van de raaklijnen vanuit punt Q(p, q) aan de cirkel:"
(x - a)(x - a) + (y - b)(y - b) = cc
Dit is een klus en het lesboek geeft 3 min of meer complexe oplossingstrategieën met de bijbehorende rekenalgoritmen via de puntenruimte. De gastles opende de deur naar een onbekende, eenvoudige oplossingsmethode met een kort rekenalgoritme via de lijnenruimte:

1. Kies het ruimtemodel met de incidentierelatie van punt (x, y) en lijn [X, Y]:
(x - a)(X - a) + (y - b)(Y - b) = cc
2a. Punt (x, y) en lijn [x, y] zijn partnerelementen.
Dit eenvoudige partnerbegrip was door tijdgebrek niet duidelijk genoemd.
2b. Incidentie van partnerelementen vormt niet alleen de puntencirkel
c = {(x, y) | (x - a)(x - a) + (y - b)(y - b) = cc}
       maar ook de raaklijnencirkel
C = {[x, y] | (x - a)(x - a) + (y - b)(y - b) = cc}
Dit is een tweedegraadsvergelijking in x en y.
3. De lijnenwaaier op punt Q(p, q) is
Q = {[x, y] | (p - a)(x - a) + (q - b)(y - b) = cc}.
Dit is een eerstegraadsvergelijking in x en y.
4. Gevraagd wordt naar de doorsnede Q C.
Deze doorsnede bevat twee elementen [x1, y1] en [x2, y2], die als oplossingen tevoorschijn komen uit het stelsel van de eerste- en tweedegraadsvergelijking van Q respectievelijk C. De gevraagde puntenrijen op de raaklijnen zijn:
{(x, y) | (x - a)(x1 - a) + (y - b)(y1 - b) = cc}
{(x, y) | (x - a)(x2 - a) + (y - b)(y2 - b) = cc}

Deze oplossingsroute via de lijnenruimte werkt niet alleen voor de cirkel, maar ongewijzigd voor elke kegelsnede: ellips, parabool en hyperbool. De algemene toepasbaarheid van rekenalgoritme op basis van dualiteit hangt samen met het feit dat dualiteit een bijzonder diepgaand en fundamenteel wiskundig verschijnsel is. Dualiteit vormt het skelet van de euclidische meetkunde. De begrippen afstand en hoek zijn er aan opgehangen.

1e rekenvoorbeeld

De vergelijkingen van raaklijnen vanuit een punt aan een cirkel


De linker berekening gebruikt een toegesneden ruimtemodel, waarin incidente partnerelementen (x, y) en [x, y] de gegeven cirkel vormen en de cirkelvergelijkingen in de punten- en lijnenruimte identiek zijn.

De rechter berekening gebruikt het standaard ruimtemodel, waardoor de cirkelvergelijkingen in de lijnen- en puntenruimte verschillen. De vergelijking van de raaklijnencirkel is gevonden met behulp van differentiëren en te vinden in de tabel van raaklijncurven op de pagina over de ionabrug.

2e rekenvoorbeeld

De vergelijkingen van raaklijnen vanuit een punt aan een parabool


De linker berekening gebruikt een toegesneden ruimtemodel, waarin incidente partnerelementen (x, y) en [x, y] de gegeven parabool vormen en de paraboolvergelijkingen in de punten- en lijnenruimte identiek zijn.

De rechter berekening gebruikt het standaard ruimtemodel, waardoor de paraboolvergelijkingen in de lijnen- en puntenruimte verschillen. De vergelijking van de raaklijnenparabool is gevonden met behulp van differentiëren en te vinden in de tabel van raaklijncurven op de pagina over de ionabrug.

3e rekenvoorbeeld

De vergelijkingen van raaklijnen vanuit een punt aan een hyperbool


De linker berekening gebruikt een toegesneden ruimtemodel, waarin incidente partnerelementen (x, y) en [x, y] de gegeven hyperbool vormen en de hyperboolvergelijkingen in de punten- en lijnenruimte identiek zijn.

De rechter berekening gebruikt het standaard ruimtemodel, waardoor de hyperboolvergelijkingen in de lijnen- en puntenruimte verschillen. De vergelijking van de raaklijnenhyperbool is gevonden met behulp van differentiëren en te vinden in de tabel van raaklijncurven op de pagina over de ionabrug.

4e rekenvoorbeeld

De vergelijkingen van raaklijnen vanuit een punt aan een ellips


De linker berekening gebruikt een toegesneden ruimtemodel, waarin incidente partnerelementen (x, y) en [x, y] de gegeven ellips vormen en de ellipsvergelijkingen in de punten- en lijnenruimte identiek zijn.

De rechter berekening gebruikt het standaard ruimtemodel, waardoor de ellipsvergelijkingen in de lijnen- en puntenruimte verschillen. De vergelijking van de raaklijnenellips is gevonden met behulp van differentiëren en te vinden in de tabel van raaklijncurven op de pagina over de ionabrug.

5e rekenvoorbeeld

De vergelijkingen van raaklijnen vanuit een punt aan een hyperbool

De linker berekening gebruikt een toegesneden ruimtemodel, waarin incidente partnerelementen (x, y) en [x, y] de gegeven hyperbool vormen en de hyperboolvergelijkingen in de punten- en lijnenruimte identiek zijn.

De rechter berekening gebruikt het standaard ruimtemodel, waardoor de hyperboolvergelijkingen in de lijnen- en puntenruimte verschillen. De vergelijking van de raaklijnenhyperbool is gevonden met behulp van differentiëren en te vinden in de tabel van raaklijncurven op de pagina over de ionabrug.


Enkele stellingen, van toepassing op de lessen


Onderstaande vijf stellingen kunnen binnen de beperking van twee lesuren niet worden uitgelegd. Neem er op een rustig moment de tijd voor. Er zijn aanknopingspunten voor een PWS. Vragen die je opstuurt, worden door mij of desgewenst door je docent beantwoord. Met vriendelijke groet, Dirk Adrichem.

Stelling van Thales


Een driehoek is ingeschreven in een cirkel. Deze cirkel heet de omgeschreven cirkel van de driehoek.

De stelling van Thales:
"Is een driehoekszijde de middellijn van de omgeschreven cirkel van de driehoek, dan is de overstaande hoek van deze zijde recht".


De omgekeerde stelling van Thales:
"De driehoekszijde van een rechthoekige driehoek, die tegenover de rechte hoek staat, is een middellijn van de omgeschreven cirkel van de driehoek".

De omtrekshoek en de constante hoek

De hoekpunten van een driehoek liggen op zijn omgeschreven cirkel. De cirkelboog - als deel van de omtrek - tussen twee hoekpunten kan worden gezien als de hoek vanuit het middelpunt naar de twee hoekpunten. Het derde hoekpunt 'staat' met de 'benen' van zijn aanliggende driehoekszijden op de cirkelboog. Deze benen vormen een zogenoemde "omtrekshoek".

De omtrekshoekstelling:
"Een omtrekshoek is gelijk aan de halve boog, waarop hij staat".

"Blijft bij beweging van het hoekpunt van een omtrekshoek de boog tussen de andere twee hoekpunten gelijk, dan verandert de omtrekshoek niet", aldus de stelling van de constante hoek bij de cirkel.

Bij een boog van 180° (gestrekte hoek) treedt de stelling van Thales op.
De omtrekshoekstelling is een generalisatie van de stelling van Thales.

De omtrekshoek van een boog groter dan 180° zou stomp zijn (> 90°). Het supplement van zo'n omtrekshoek is scherp en zou tegelijkertijd op het applement (aanvullingshoek tot 360°) van deze boog staan. Deze situatie is een verdubbeling en schept verwarring. Om dit te voorkomen kun je bogen beperken tot 180°. Bijgevolg blijven omtrekshoeken scherp. Ook als ze liggen op boog, waarop ze staan. In zo'n geval is omtrekshoek B een buitenhoek van driehoek ABC; gelijk aan het supplement van de binnenhoek.

Gebruik van de geöriënteerde hoek - in de figuur links: CBA - helpt ook om verwarring te voorkomen. Verder maakt de geöriënteerde hoek het mogelijk om de constante hoekstelling en de koordenvierhoekstelling (zie hieronder) te fuseren tot één stelling. Dit kan geen kwaad, want  generalisatie vergroot het inzicht.

De constante hoek bij de cirkel

Vaak wordt de stelling van de constante hoek bij de cirkel bewezen met gevalscheiding in drie delen. Bij gevalscheiding verliest de lezer gemakkelijk het overzicht en ontglipt de bewijsvoering zijn/haar voorstelling en beleving. Daarom wordt hier een bewijs zonder gevalscheiding gegeven.

Twee driehoeken zijn ingeschreven in een gemeenschappelijke cirkel: een gele driehoek ABC en een blauwe driehoek A'B'C'. De tweede driehoek is in de figuur hiernaast van zijn plaats gedraaid. Op zijn oorspronkelijke plaats lagen twee zijden evenwijdig met de gele driehoek: AB//A'B' en AC//A'C'.

Dat betekent ten eerste dat hoek A gelijk is aan hoek A' .
Ten tweede zijn de bogen AA', CC' en B'B gelijk aan elkaar.
De blauwe driehoek A'B'C' kan dus over deze boog worden gedraaid, zodat zijde B'C' op zijde BC van de gele driehoek ABC komt te liggen.

Hoekpunt A' beweegt bij deze draaiing niet naar hoekpunt A, maar naar A'', zonder dat hoek A' verandert.
De hoeken A en A'' zijn gelijk, terwijl ze beide op de koorde BC staan.

De koordenvierhoek



Een koordenvierhoek is een vierhoek met een omgeschreven cirkel. De hoekpunten van de vierhoek liggen op één cirkel.

De koordenvierhoekstelling:

"Overstaande hoeken van een koordenvierhoek zijn elkaars supplement".

De omgekeerde koordenvierhoekstelling:
"Een vierhoek, waarvan twee overstaande hoeken samen een gestrekte hoek zijn, is een koordenvierhoek".

De raaklijnenvierhoek


Een raaklijnenvierhoek is een vierhoek met een ingeschreven cirkel. De zijden a, b, c en d van de vierhoek met lengten a, b, c en d raken aan één cirkel in de punten A, B, C en D.

De raaklijnenvierhoekstelling:
"De lengtesom (a + c) van twee overstaande zijden van een raaklijnenvierhoek is gelijk aan de lengtesom (b + d) van de overige twee".

De omgekeerde raaklijnenvierhoekstelling:
"Een vierhoek, waarvan de lengtesom van twee overstaande zijden gelijk is aan de lengtesom van de overige twee, is een raaklijnenvierhoek".

De constante hoek en de koordenvierhoek


De constante hoekstelling bij de cirkel volgt direct uit de koordenvierhoekstelling:
"De beweeglijke hoek van een overigens vaste koordenvierhoek is constant". Met andere woorden: "Beweegt een hoek van een driehoek over een onveranderlijke omgeschreven cirkel van de driehoek, dan blijft de hoek gelijk".

De twee stellingen zijn slechts verschillende vormen van eenzelfde stelling, omdat ze direct uit elkaar volgen. Het schijnbare verschil van de stellingen ontstaat bij gebruik van ongeöriënteerde hoeken.

De omgekeerde constante hoekstelling:
"Blijft vanuit een beweeglijk punt de zichthoek gelijk naar twee punten, die een onderling gelijkblijvende afstand houden, dan beweegt het beweeglijke punt zich over een cirkel, waarop ook de beide andere punten liggen".

De stelling van Thales is ook op te vatten als een speciaal geval van de constante hoekstelling, waarbij AC middellijn van de omgeschreven cirkel is.

De constante hoek bij de parabool


Een drietal lijnen a, b en c raakt aan een parabool. Deze lijnen vormen een driezijde en hun snijpunten ab, bc en ca een raaklijnendriehoek.

De stelling van de constante hoek bij de parabool:
"De beweeglijke lijn van een overigens vaste raaklijnendriehoek aan een parabool vormt een constante hoek met het brandpunt van de parabool".

De constante brandpuntshoekstelling kan zelfstandig bewezen worden. De stelling kan ook worden afgeleid uit de stelling van Lambert:
"Het brandpunt F van een parabool ligt op de omgeschreven cirkel van elke raaklijnendriehoek aan deze parabool".

Vierhoek (ab, F, bc, ca) is daarom een koordenvierhoek. Stel lijn b is beweeglijk en de hoekpunten F en ca zijn overstaand. De vaste lijnen a en c vormen dan een constante (geöriënteerde) buitenhoek ca, die gelijk is aan de binnenhoek F van de koordenvierhoek.

Is de stelling van de brandpuntshoek (de geöriënteerde hoek cba) bij de parabool lotgenoot van de stelling van de omtrekshoek (de geöriënteerde hoek ABC) bij de cirkel? De euclidisch-axiomatische fundering van dualiteit verbindt de eerstgenoemde stelling en de tweede direct aan elkaar. Is een bewijs van één van beiden dan ook meteen een bewijs voor de ander?


De ovalen van Cassini

Elke differentieerbare curve bezit een raaklijnenverzameling: een omhullende curve ofwel envelop. Als voorbeeld is hiernaast gegeven de gele curve. Dit is een bijzondere vorm van de cassinische curve. Deze vorm wordt ook wel de lemniscaat van (Jakob) Bernoulli genoemd, die in algemeen is gebruik als symbool voor het wiskundige begrip oneindig.

Cassinische curven hebben, zoals kegelsneden, twee brandpunten. In dit geval zijn dat de punten (-1, 0) en (1, 0). Elk punt in de vlakke ruimte ligt op een bepaalde afstand ten opzichte van deze brandpunten. Punten met een gelijk product van beide afstanden, vormen een cassinische curve. Op vergelijkbare wijze vormen punten met een gelijke afstandssom een ellips, bij een gelijk afstandsverschil ontstaat de hyperbool en bij een gelijke afstandsverhouding een (apollonische) cirkel.

Het afstandsproduct van de punten van de gele curve is gelijk aan 1. Het punt (0, 0) ligt op afstand 1 van beide brandpunten. Hoe zit dit met de snijpunten van deze cassinische kromme met de eenheidscirkel? Welke punten zijn dit? Wat zijn de coördinaten van de linker en rechter uitersten? Hoe construeer je de punten, die op afstanden 2 respectievelijk 1/2 t.o.v. de brandpunten liggen?

Een snijpunt van de gele curve met de eenheidscirkel is roze omcirkeld. De raaklijn in dit punt is geel gestippeld. Wat zijn de coördinaten van deze lijn? Een geel punt met dezelfde coördinaten ligt op de roze curve. Een bijzonder geval doet zich hier voor, waarin de roze gestippelde raaklijn van dit gele punt incident is met het roze punt. Beide raaklijnen vormen twee zijden van een witte driehoek. Deze driehoek lijkt de helft van een gelijkzijdige driehoek. Kun je dit ook bewijzen?

De roze curve is de ruimtelijke versie van de envelope van de gele curve. De lijnen van deze envelope zijn elementen van de vlakke coruimte. De gele en roze curven zijn duaal verwant. De vertaling van de gele puntcurve in de bijbehorende envelope is gedaan met de ionabrug van het ruimtemodel
xX + yY = 1

Tabel van raaklijncurven

Hoek en afstand

Bij introductie van de begrippen hoek en afstand doet de schoolwiskunde een beroep op de intuïtie van de leerling. Aanvankelijk kan dat ook moeilijk anders. Anderzijds is bekend dat door de ontwikkeling van het wiskundig denken de leerling vroeg of laat uit zijn jasje van intuïtieve begrippen barst. Daarom is een zorgvuldige afweging van de mogelijkheden aan te raden om op een geschikt moment over de begrippen hoek en afstand meer duidelijkheid te scheppen.

Allereerst kan worden overwogen dat hoek en afstand duale begrippen zijn. In de figuur hiernaast is de lijnenwaaier {a, b, c, d} weergegeven, die met de x-as de puntenrij {A, B, C, D} oplevert. De dubbelverhouding ABCD wordt vaak voorgesteld als een dubbelverhouding van afstanden (*):
(AC/BC):(AD/BD)
De dubbelverhouding van de waaier is niet een gevolg van de ligging van de puntenrij, maar andersom. We nemen als model de dubbelverhouding van de snijpunten, die de y-as met de lijnenwaaier maakt. In de rechter figuur is deze dubbelverhouding harmonisch (d.w.z. gelijk aan -1). Dat de dubbelverhouding van de snijpunten van de lijnenwaaier met een willekeurige lijn slechts afhangt van de lijnenwaaier, betekent dat ze een eigenschap van de lijnenwaaier is. De dubbelverhouding abcd kan daarom gelijk worden gesteld aan ABCD.         december 2021

(*) Duidelijker is het te spreken van de dubbelverhouding van coördinaatverschillen, omdat het volledige coördinatenstelsel onafhankelijk van de begrippen afstand en hoek projectief kan worden geconstrueerd. Coördinatengetallen zijn daarbij geen maten, maar constructie-volgorde-nummers (telgetallen). Zie het boekje Wonderlijke Wiskunde voor uitleg hiervan. Deze aantekening moet voorkomen dat de hiernavolgende fundering van hoek- en afstand-definitie op de dubbelverhouding op een cirkelredenering lijkt. Doel van deze exercitie is het hoek- en afstand-begrip los te weken van z'n fysieke associatie door wiskundige fundering van de dubbelverhouding binnen het volledige coördinatenstelsel, dat ontstaat door telling van de constructiestappen bij de bouw van een harmonisch Möbiusnet. Voor meer uitleg zie les 7 van Wonderlijke Wiskunde.

Tussen punt- en lijncoördinaten

 Het bekende cartesiaanse puntcoördinatenstelsel, aangevuld met de lijncoördinaten, noemen we het volledige stelsel. Zoals hierboven is aangegeven, heeft een lijncoördinaat de omgekeerde waarde van de coördinaat van het betreffende lijncoördinaatpunt. Dat de dubbelverhouding ABCD kan worden uitgedrukt in de puntcoördinaten, is zojuist aangegeven. De vraag is nu of dezelfde dubbelverhouding abcd ook in lijncoördinaten kan worden uitgedrukt. Zie hier het algebraïsch bewijs ->.

Dat de dubbelverhouding een brug tussen hoeken en afstanden vormt, heeft F. Klein laten zien door de hoekdefinitie van E. Laguerre met de afstanddefinitie van A. Caley te vergelijken.

De stelling van Laguerre

De stelling van Laguerre (∡ab = ln(abpq)/2i) brengt de hoek tussen de vaste lijn b ≡ [-1, 0] en de variabele lijn a ≡ [-1, 1/t] in verband met de dubbelverhouding abpq. De lijnen p en q heten isotroop. Hun absolute ligging is bruikbaar om het hoekbegrip op te vestigen. Zoals in de linker figuur is te zien, is hoek ab is het halve supplement van hoek α. De stelling van Laguerre leidt tot dit resultaat. Anders gezegd hoek ab is het complement van de halve hoek α, waarvan de variabele t een functie is:
t = (sin α) / (1 + cos α)
Deze hoekdefinitie vanuit de dubbelverhouding werkt ook in de hyperbolische meetkunde.
                         december 2021

Caley's afstanddefinitie

De punten O ≡ (0, 0), A ≡ (a, 0), B ≡ (b, 0), P ≡ (-n, 0) en Q ≡ (n, 0) liggen op één lijn. De punten P en Q fungeren als referentiepunten. Worden O en B door A gescheiden, dan is
(OAPQ)(ABPQ) = (OBPQ)
het geval. Daaruit volgt weer dat
ln(ABPQ) = ln(OBPQ) - ln(OAPQ)
De definitie AB = λ · ln(ABPQ) voldoet aan een eis die aan een afstand-definitie gesteld moet worden:
 OA + AB = OB
De ijkwaarde λ hangt af van n. Een nauwkeurige schaalverdeling wordt verkregen door de referentiepunten ver genoeg weg te leggen.
Bij λ gelijk aan n/2 geldt onder de limiet van n --> ∞
λ · ln(ABPQ) = b - a = AB
Deze afstand-definitie werkt zowel voor de euclidische als de hyperbolische meetkunde. In het laatste geval fungeren de referentie-punten als grenspunten van het "hyperbolische vlak".  december 2021