Afstand en hoek

De begrippen afstand en hoek verwijzen naar zintuiglijk waarneembare verschijnselen en worden in de schoolwiskunde niet gedefinieerd, maar overgelaten aan de intuïtie van leerling en leraar. Wiskunde is geen natuurwetenschap, die zich op de materiële wereld richt, maar een geesteswetenschap, die werkt binnen de ideale wereld van getal, punt, lijn en vlak.

Deze website laat zien dat de postulaten van Euclides, waar de schoolmeetkunde vanouds op neerkomt, middels een wiskundige analyse kunnen worden ontdaan van de noties van afstand en hoek. Wat overblijft zijn de incidentiepostulaten.

Met de incidentiepostulaten kan een (cartesisch) coördinatenstelsel worden geconstrueerd, dat niet uit een fysieke maat van de buitenwereld gebruikt, maar een constructievoorschrift uit de mentale binnenwereld voor het möbiusnet (harmonisch net). De telgetallen in de constructievolgorde van dit voorschrift vormen de gehele coördinaatgetallen van puntcoördinaten. Het vlakke volledige positiestelsel geeft ook lijncoördinaten.

Vervolgens kan de dubbelverhouding zonder tussenkomst van het afstandsbegrip op coördinaatgetallen worden gegrond. Tenslotte kunnen zowel de afstandsmaat als de hoekmaat als een dubbelverhouding worden opgevat.

Tenslotte blijkt de gehele euclidische meetkunde tot op het abstracte skelet van de incidentiemeetkunde te kunnen worden afgebroken en er weer springlevend en ongeschonden uit opgetrokken te kunnen worden. Kennelijk zijn de begrippen afstand en hoek op de incidentieregels te funderen, bevrijd van de illusie van hun zintuiglijke herkomst.

Dat de wiskunde glansrijk een eliminatie doorstaat van de onmisbaar ogende noties als afstand en hoek, laat zien dat deze geesteswetenschap stevig op zijn benen staat. Vanuit een diepere laag botten de geamputeerde begrippen opnieuw uit en herstellen de praktische toepasbaarheid van de puntenruimte voor de 'vertrouwde' stoffelijke wereld: zwaartepunt, kracht, snelheid. Wat daarnaast aan het licht komt, is de wiskundige gelijkwaardige coruimte, die voor een andere wereld geëigend lijkt te zijn, zoals die van de vormkrachten.

Euclides van Alexandrië

De meetkundige postulaten ("vereisten") van Euclides in moderne taal:

Exact één lijnstuk verbindt twee punten.
Een lijnstuk is onderdeel van een lijn.
Met een lijnstuk en een punt kan een cirkel geconstrueerd worden.
Alle rechte hoeken zijn gelijk.
Twee lijnen snijden een derde lijn en ontmoeten elkaar aan de kant van de derde lijn, waar de binnenhoeken samen kleiner dan een gestrekte hoek zijn.

Tweede weergave, ontdaan van de noties van lengte (afstand) en hoek:

Precies één lijn verbindt twee punten.
Precies één punt verbindt twee lijnen. Ontbreekt een snijpunt, dan treedt met axiomatische permissie één richting op als "punt" (zie 1*).

De tweede weergave toont de incidentiepostulaten, die blijkbaar het skelet van de euclidische meetkunde vormen. De meetkunde van deze postulaten noemt men gewoonlijk "projectieve meetkunde", waarbij de richting van een lijn in navolging van Kepler "oneigenlijk punt" of (mysterieus) "oneindig (ver) punt" heet. Ionawiskunde beschouwt "projectieve meetkunde" als de incidentiemeetkunde, die onderdeel uitmaakt van de parabolische (euclidische), hyperbolische en elliptische meetkunde.

(*) Exact één lijn verbindt een punt en een richting.
Exact één lijn verbindt twee richtingen.

Het harmonisch net

Binnen de regels van de incidentiepostulaten kan een (cartesisch) coördinatenstelsel worden geconstrueerd, dat niet op een fysieke maat uit de buitenwereld rust, maar een constructievoorschrift volgt uit de mentale binnenwereld: het harmonisch net (möbiusnet). De telgetallen in de constructievolgorde van dit voorschrift vormen de gehele coördinaat-getallen van de puntcoördinaten in de vorm van twee coördinaat-lijnenwaaiers.

Het volledige positiestelsel geeft lijncoördinaten, bijvoorbeeld in de vorm van een coördinaatpuntenrij op elke 0-lijn. De positie van de lijncoördinaatpunten wordt bepaald door de incidentievergelijking (zie de ionabrug).

De dubbelverhouding

Bij introductie van de begrippen hoek en afstand doet de schoolwiskunde een beroep op de intuïtie van de leerling. Aanvankelijk kan dat ook moeilijk anders. Anderzijds is bekend dat door de ontwikkeling van het wiskundig denken de leerling vroeg of laat uit zijn jasje van intuïtieve begrippen barst. Daarom is een zorgvuldige afweging van de mogelijkheden aan te raden om op een geschikt moment over de begrippen hoek en afstand meer duidelijkheid te scheppen.

Allereerst kan worden overwogen dat hoek en afstand duale begrippen zijn. In de figuur hiernaast is de lijnenwaaier {a, b, c, d} weergegeven, die met de x-as de puntenrij {A, B, C, D} oplevert. De dubbelverhouding ABCD wordt vaak voorgesteld als een dubbelverhouding van afstanden (*):

(AC/BC):(AD/BD)

De dubbelverhouding van de waaier is niet een gevolg van de ligging van de puntenrij, maar andersom. We nemen als model de dubbelverhouding van de snijpunten, die de y-as met de lijnenwaaier maakt. In de rechter figuur is deze dubbelverhouding harmonisch (d.w.z. gelijk aan -1). Dat de dubbelverhouding van de snijpunten van de lijnenwaaier met een willekeurige lijn slechts afhangt van de lijnenwaaier, betekent dat ze een eigenschap van de lijnenwaaier is. De dubbelverhouding abcd kan daarom gelijk worden gesteld aan ABCD. december 2021

(*) Duidelijker is het te spreken van de dubbelverhouding van coördinaatverschillen, omdat het volledige coördinatenstelsel onafhankelijk van de begrippen afstand en hoek projectief kan worden geconstrueerd. Coördinatengetallen zijn daarbij geen maten, maar constructie-volgorde-nummers (telgetallen). Zie het boekje Wonderlijke Wiskunde voor uitleg hiervan. Deze aantekening moet voorkomen dat de hiernavolgende fundering van hoek- en afstand-definitie op de dubbelverhouding op een cirkelredenering lijkt. Doel van deze exercitie is het hoek- en afstand-begrip los te weken van z'n fysieke associatie door wiskundige fundering van de dubbelverhouding binnen het volledige coördinatenstelsel, dat ontstaat door telling van de constructiestappen bij de bouw van een harmonisch Möbiusnet. Voor meer uitleg zie les 7 van Wonderlijke Wiskunde.

Duale dubbelverhoudingen

Het bekende cartesiaanse puntcoördinatenstelsel, aangevuld met de lijncoördinaten, noemen we het volledige stelsel. In het standaardstelsel staat de eenheidscirkel centraal. Zoals op de volgende pagina is aangegeven, heeft in het standaardstelsel een lijncoördinaat de omgekeerde waarde van de coördinaat van het betreffende lijncoördinaatpunt. Dat de dubbelverhouding ABCD kan worden uitgedrukt in de puntcoördinaten, is zojuist aangegeven. De vraag is nu of dezelfde dubbelverhouding abcd ook in lijncoördinaten kan worden uitgedrukt. Zie hier het algebraïsch bewijs ->.

Dat de dubbelverhouding een brug tussen hoeken en afstanden vormt, heeft F. Klein laten zien door de hoekdefinitie van E. Laguerre met de afstanddefinitie van A. Caley te vergelijken.

Caley's afstandsmaat

De punten O ≡ (0, 0), A ≡ (a, 0), B ≡ (b, 0), P ≡ (-n, 0) en Q ≡ (n, 0) liggen op één lijn. De punten P en Q fungeren als referentiepunten. Worden O en B door A gescheiden, dan is

(OAPQ)(ABPQ) = (OBPQ)

het geval. Daaruit volgt weer dat

ln(ABPQ) = ln(OBPQ) - ln(OAPQ)

De definitie AB = λ · ln(ABPQ) voldoet aan een eis die aan een afstand-definitie gesteld moet worden:

OA + AB = OB

De ijkwaarde λ hangt af van n. Een nauwkeurige schaalverdeling wordt verkregen door de referentiepunten ver genoeg weg te leggen.
Bij λ gelijk aan n/2 geldt onder de limiet van n --> ∞

λ · ln(ABPQ) = b - a = AB

Deze afstand-definitie werkt zowel voor de euclidische als de hyperbolische meetkunde. In het laatste geval fungeren de referentie-punten als grenspunten van het "hyperbolische vlak". december 2021

Laguerre's hoekmaat

De stelling van Laguerre (∡ab = ln(abpq)/2i) brengt de hoek tussen de vaste lijn b ≡ [-1, 0] en de variabele lijn a ≡ [-1, 1/t] in verband met de dubbelverhouding abpq. De lijnen p en q heten isotroop. Hun absolute ligging is bruikbaar om het hoekbegrip op te vestigen. Zoals in de linker figuur is te zien, is hoek ab is het halve supplement van hoek α. De stelling van Laguerre leidt tot dit resultaat. Anders gezegd hoek ab is het complement van de halve hoek α, waarvan de variabele t een functie is:

t = (sin α) / (1 + cos α)

Deze hoekdefinitie vanuit de dubbelverhouding werkt ook in de hyperbolische meetkunde.
De hoek tussen twee variabele lijnen a en c is:

∡ab + ∡bc = ∡ac
2i∡ab + 2i∡bc = 2i∡ac

ln(abpq) + ln(bcpq) = ln(acpq)
abpq · bcpq = acpq

december 2021

ionawiskunde