Samenvatting
De woorden punt en richting van een lijn zijn 'gelijksoortige' begrippen. Binnen de incidentiepostulaten zijn deze begrippen gelijksoortig. Dit betekent dat ze axiomatisch gezien onder één noemer vallen.
Bijgevolg zijn in de parabolische (=
euclidische) incidentiepostulaten ook de woorden punt en lijn verwisselbaar, zonder dat de incidentiepostulaten als koppel verandert. De begrippen lijn en punt zijn echter niet gelijksoortig ("niet equivalent"), maar wel vlak-axiomatisch gezien symmetrisch (duaal).
De vereniging van de begrippen punt en richting van een lijn is een geval van generalisatie.
Een tweede geval van generalisatie is de algemene definitie van het begrip richting in de parabolische meetkunde. Beide gevallen worden hier onderzocht.
Parabolische meetkunde is een grensgeval van de hyperbolische meetkunde, wat hieronder wordt uitgelegd. De hyperbolische meetkunde is de algemene van de twee. Verder zijn de parabolische en hyperbolische meetkunde specialisaties van de projectieve. Alle euclidische stellingen zijn geldig in de parabolische meetkunde.
Klinkenberg.pdf
3 Parabolische definities van het begrip parallel
Lijnen met een gemeenschappelijke richting zijn parallel- Vlakken met een gemeenschappelijke richting zijn parallel
- Ruimten met een gemeenschappelijke richting zijn parallel
- Punt, lijn, vlak en ruimte zijn integere, ruimtelijke elementen
De ruimtelijke elementen
In tegenstelling tot begrippen als lijnstuk, driehoek, cirkel, ellips of kegel zijn de ruimtelijke elementen punt, lijn vlak en ruimte maatloos. Tenzij je de getallen nul en oneindig als maat of afmeting gebruikt. Niemand doet dat.
Een visualisatie van een groeiende en krimpende cirkel maakt duidelijk dat
het punt en de lijn, als grensvormen van de cirkel, in een gelijkwaardige relatie met elkaar staan. De cirkel speelt hier geen fundamentele rol. Elke andere gesloten curve werkt net zo goed. Binnen het vlak zijn lijn en punt elkaars duale element.
Een visualisatie van een groeiende en krimpende bol laat zien dat punt en vlak, als grensvormen van de bol, elkaars duale element binnen de ruimte zijn.
Combinatie van ruimtelijke elementen leidt tot ruimtelijke grondvormen. De lijnenwaaier en de puntenreeks zijn combinaties van de vlak-duale elementen punt en lijn. De verzameling van alle punten in een vlak heet vlakke ruimte. De vlakke coruimte is de verzameling van alle lijnen van een vlak.
De vlakkenschoof en het puntenveld zijn combinaties van de ruimtelijk-duale elementen punt en vlak. Andere grondvormenparen zijn de vlakkenwaaier met de puntenrij, de lijnenschoof met het lijnenveld en de vlakkenschoof met het puntenveld. De verzameling van alle punten in een ruimte noemt men ruimte. De coruimte is de verzameling van alle vlakken van een ruimte.
De lineaire coruimte is de puntenruimte van een lijn. De coruimte van een punt is de lege verzameling.Twee congruente of gelijkvormige lijnenwaaiers vormen een cirkel. Dit kan worden bewezen met de stelling van de constante omtrekshoek van de cirkel. Twee
congruente of gelijkvormige puntenrijen geven een parabool. Dit kan worden bewezen met de stelling van de constante omtrekshoek van de parabool ofwel de stelling van de constante brandpuntshoek van de parabool. Elk van beide stellingen kan apart worden bewezen, maar gezien de vlakke dualiteit tussen lijn en punt zijn beide stellingen elkaars bewijs. Het is dan ook voldoende één van beide te bewijzen.
In het navolgende worden
3 parabolische
richtings-postulaten behandeld
Een postulaat is een meetkundige grondstelling
- De richting van een lijn is het grenspunt van die lijn
- De richting van een vlak is de grenslijn van dat vlak
-
De richting van een ruimte is het grensvlak van die ruimte Stelling: Elke meetkundige stellling van Euclides is een stelling in de parabolische meetkunde
Richting en incidentie van een lijn
Het woord incident is latijn voor "invallend" en wordt gebruikt om aan te geven dat meetkundige elementen elkaar ontmoeten en daarbij een gemeenschappelijk element hebben. Incident is een verzamelwoord voor "liggend in", "liggend op", "gaand door", "snijdend", "verbindend", etcetera. Parallelle lijnen hebben geen punt gemeen, maar wel een richting. Ze zijn incident met deze richting. Afgezien van deze richting zijn ze van elkaar gescheiden. Wat is hier de aard van het begrip richting?
Twee willekeurige lijnen kunnen door draaiing om hun snijpunt dezelfde richting krijgen en in een dekkende stand worden gebracht.
Twee willekeurige lijnen kunnen door draaiing om hun snijpunt dezelfde richting krijgen en in een dekkende stand worden gebracht.
Een parabolisch incidentiepostulatenstelsel
We moeten
allereerst constateren dat de originele werken van Euclides verloren zijn
gegaan. We zijn daarom aangewezen
op latere vertalingen, die onvermijdelijk diverse interpretaties met zich meebrengen en tot een eigen interpretatie dwingen. Euclides gaf de woorden lijn en vlak nog de eindige betekenis van lijnstuk en vlakdeel. Hier volgt mijn
parabolische
interpretatie, die gebruik maakt van de oneindige ruimtelijke elementen punt, lijn en vlak, zoals David Hilbert dit heeft gedaan bij zijn interpretatie van Euclides en die ook in de huidige schoolwiskunde gebruikt worden:
(1a) Elk paar punten is incident met 1 lijn.
(1b) Een punt en een richting zijn incident met 1 lijn.
(1c) Elk paar richtingen is incident met de absolute lijn.
Bij postulaat 1c wordt het begrip absolute lijn gebruikt. De absolute lijn laat zich niet visualiseren en steunt voor dit moment volledig (*) op dit postulaat. Je zou eventueel kunnen denken aan een cirkel met oneindige straal, maar die laat zich in dit geval evenmin visualiseren. In het door ons gebruikte volledige coördinaten-stelsel fungeert de oersprong [0, 0] als absolute lijn.
Bovenstaande drie parabolische subpostulaten in acht nemend, breiden we tijdelijk de betekenis van het woord punt zodanig uit dat er zowel punten als richtingen onder vallen. Met een tijdelijk uitgebreid puntbegrip laten de postulaten 1a, 1b en 1c zich samenvatten tot:
(1) Elk paar punten is incident met 1 lijn.
Het vijfde
postulaat van Euclides laat zich interpreteren als de duale tegenhanger van dit eerste
parabolische
incidentiepostulaat:
(2) Elk paar lijnen is incident met 1 punt.
Dit algemeen geformuleerde postulaat omvat 3 subpostulaten, nu weer verwoord met het niet-uitgebreide puntbegrip:
(2a) Elk paar niet-parallelle lijnen is incident met 1 punt.
(2b) Elk paar parallelle lijnen is incident met 1 richting.
(2c) Een lijn en de absolute lijn zijn incident met 1 richting. 7 januari 2022
(*) Onderaan deze webpagina wordt de richting van een vlak onderzocht. Daaruit komt de richting van een vlak als de grenslijn van dat vlak tevoorschijn. Deze grenslijn is de onder subpostulaat (1c) genoemde absolute lijn.
Een duaal-parabolisch
incidentiepostulatenstelsel
Zoals alle richtingen incident zijn met de absolute lijn, zo zijn alle gerichte lijnen incident met het absolute punt. Nu volgt dan de duale versie van het parabolische incidentiepostulatenstelsel:
(1a) Elk paar ongerichte lijnen is incident met 1 punt óf 1 richting.
(1b) Een ongerichte en een gerichte lijn zijn incident met 1 punt óf 1 richting.
(1c) Elk paar gerichte lijnen is incident met het absolute punt.
In het door ons gebruikte volledige coördinaten-stelsel fungeert de oorsprong (0, 0) als absoluut punt. Samengevat met een tijdelijk uitgebreid puntbegrip:
(1) Elk lijnen-paar is incident met 1 punt.
Dit eerste duaal-parabolische postulaat stemt overeen met het rweede parabolische postulaat en vertoont qua samenstelling veel overeenkomst met het eerste parabolische postulaat.
Het tweede duaal-parabolische postulaat stemt overeen met het eerste euclidische postulaat en vertoont qua samenstelling veel overeenkomst met het tweede parabolische postulaat en heeft geen uitgebreide puntbegrip nodig:
(2) Elk punten-paar is incident met 1 lijn.
Dit algemeen geformuleerde postulaat omvat 3 subpostulaten:
(2a) Elk paar ongecentreerde punten is incident met 1 ongerichte lijn.
(2b) Elk paar gecentreerde punten is incident met 1 gerichte lijn.
(2c) Een punt en het absolute punt zijn incident met 1 gerichte lijn.
7 januari 2022
Conclusie 1
Dat het begrip punt kan worden uitgebreid met "richting", klinkt onwennig. De duale tandem hiervan is de gerichte met de ongerichte lijn. Van uitbreiden of oprekken van het begrip lijn is daarbij geen sprake. Deze duale relatie bewijst dat de wiskunde zelf de richting parabolisch-axiomatisch aanvaardt
als een soort punt. Wiskundig gesproken is er geen sprake van begripsoprekking bij het interpreteren van de richting van de lijn als een punt van de lijn. Het enige dat hierbij oprekt, is een spraakgewoonte, die woordelijk onderscheid heeft gemaakt en daarbij verkeerd was gecategoriseerd.
Deze conclusie is een belangrijk RESULTAAT, omdat dit de weg opent naar de vaststelling dat dualiteit het skelet van de parabolische meetkunde vormt. Dit is een onverwachte binnenkomer, waarvan de literatuur vrijwel geen melding maakt. Veel schrijvers beweren zelfs het tegendeel. Het kan dan ook geen kwaad dezelfde conclusie nog eens vanuit een tweede gezichtspunt te benaderen. Dit gezichtspunt is de hyperbolische meetkunde, die in de negentiende eeuw ontdekt is.
Een hyperbolisch
incidentiepostulatenstelsel 1
Meer dan twintig eeuwen na Euclides is
ontdekt, dat de euclidische meetkunde een bijzonder geval van een ruimere meetkundige opvatting is; namelijk de hyperbolische. De figuur hiernaast is een model van de hyperbolische meetkunde. Punten en lijnen in
het zwarte gebied zijn buitenelementen
t.o.v. een absolute cirkel, die van deelname aan het hyperbolische
spel uitgesloten
worden.
De poolpartners van de binnenelementen t.o.v. de absolute cirkel zijn dus gediskwalificeert.
Elke binnenlijn is incident met 2 richtingen, zoals in het hiernaast afgebeelde model de lijn AA' incident is met de grenspunten A en A' van de absolute cirkel, terwijl elke lijn in de euclidische meetkunde met 1 richting
incident is, met uitzondering dan van de absolute lijn. De euclidische meetkunde is het grensgeval van het hiernaast gegeven model binnen een oneindig grote cirkel (de absolute lijn) en heet daarom ook wel parabolische meetkunde.
(1a) Elk paar binnenpunten is incident met 1 binnenlijn.
(1b) Een binnenpunt en een grenspunt zijn incident met 1 binnenlijn.
(1b) Een binnenpunt en een grenspunt zijn incident met 1 binnenlijn.
(1c) Elk paar grenspunt
is incident met 1 binnenlijn.
Bovenstaande drie hyperbolische subpostulaten in acht nemend, vallen grenspunten (hyperbolische richtingen) nu vanzelf onder het puntbegrip. De postulaten 1a, 1b en 1c zich samenvatten tot:
(1) Elk paar punten is incident met 1 lijn.
Een hyperbolisch
incidentiepostulatenstelsel 2
Het vijfde hyperbolische postulaat laat zich interpreteren als de duale tegenhanger van het eerste postulaat:
(2) Elk paar lijnen is incident met 1 punt.
Dit algemeen geformuleerde postulaat omvat 3 subpostulaten.
De lijn AA' is samen met zijn op punt P gelegen:
(2a) onderparallelle lijn incident met 1 binnenpunt op AA' (aangegeven in de figuur).
(2b) parallelle lijn incident met 1 grenspunt op AA'
(2c) overparallelle lijn (niet aangegeven in de figuur) incident met 1 (weliswaar buitengesloten/gediskwalificeerd) buitenpunt op AA'.
Het onder (2c) genoemde punt ontbreekt in de
parabolische
meetkunde. Waarom? De conventie gebruikt het woord hyperparallel in plaats van "overparallel", dat hier slechts omwille van overzichtelijkheid en duidelijkheid is gebruikt. Het woord "buitenpunt" is betrekkelijk, gelegen in het zwarte gebied, dus bekeken vanuit het middelpunt van de cirkel.
8 januari 2022
Een duaal-hyperbolisch
incidentiepostulatenstelsel 1
De figuur hiernaast is een model van de duaal-hyperbolische meetkunde. Het gezichtspunt is nu veranderd en de begrippen binnen en buiten zijn verwisseld. De punten en lijnen in
het zwarte gebied zijn buitenelementen
t.o.v. een absolute cirkel, die uitgesloten
worden. Opnieuw zijn de poolpartners van de (gekwalificeerde) binnenelementen
t.o.v. de absolute cirkel gediskwalificeerd. Elk binnenpunt is incident met 2
grenslijnen, zoals
in het hiernaast afgebeelde model
het punt aa' incident is met de grenslijnen a en a', terwijl elk binnenpunt in de
parabolische
meetkunde precies met 1 grenslijn incident is, met uitzondering dan van het absolute punt.
De duaal-parabolische
meetkunde is het grensgeval van het hiernaast gegeven model buiten een oneindig kleine cirkel
(het absolute punt).
Zoals de richtingen
van de hyperbolische meetkunde grenspunten zijn van de absolute cirkel, zo zijn ook de grenslijnen
van de duaal-hyperbolische meetkunde
raaklijnen aan de absolute cirkel. Nu volgt dan de duale versie van het hyperbolische
incidentiepostulatenstelsel:
(1a) Elk paar binnenlijnen is incident met 1 binnenpunt.
(1b) Een binnenlijn en een grenslijn zijn incident met 1 binnenpunt.
(1c) Elk paar grenslijnen is incident met 1 binnenpunt.
Samengevat: (1) Elk lijnen-paar is incident met 1 punt.
Dit eerste duaal-hyperbolische postulaat stemt overeen met het tweede hyperbolische postulaat en vertoont qua samenstelling veel overeenkomst met het eerste hyperbolische postulaat.
Een duaal-hyperbolisch
incidentiepostulatenstelsel 2
Het tweede duaal- hyperbolische postulaat stemt overeen met het eerste hyperbolische postulaat en vertoont qua samenstelling veel overeenkomst met het tweede hyperbolische postulaat.
(2) Een punt is samen met elk ander punt incident met 1 lijn.
Dit algemeen geformuleerde postulaat omvat 3 sub-postulaten:
Het punt aa' is samen met zijn op lijn p gelegen:
(2a) ondergecentreerd punt incident met 1 binnenlijn op aa' (aangegeven in de figuur).
(2b) gecentreerd punt incident met 1 grenslijn op aa' .
(2c) overgecentreerd punt (niet aangegeven in de figuur) incident met 1 (weliswaar buitengesloten/gediskwalificeerde) buitenlijn op aa'.
De onder (2c) genoemde elementen ontbreken in de duaal-parabolische meetkunde. Waarom? Het woord "buitenlijn" is betrekkelijk, gelegen in het zwarte gebied, dus bekeken vanuit de absolute middenlijn [0, 0] van de cirkel. Buitenpunten liggen deze keer "in" het zwarte gat. 8 januari 2022
Conclusie 2
Hyperbolische richtingen zijn grenspunten, die uitbreiding van het puntbegrip niet nodig hebben. Met terugwerkende hyperbolische kracht worden de
parabolische
richtingen ontmaskerd/ontsluierd als grenspunten. De parabolische identiteit van punt en richting wordt onderschreven met de hyperbolische identiteit van punt en grenspunt. Grenspunt en richting zijn dan ook synoniem met oneigenlijk punt en oneindig punt.
Gevolgen
Terugkijkend in Van A tot Z, deel 1a, Les (9) Lijnen en coördinaten lees ik op blz. 61:
"Rechten, lijnstuk, halve rechte
In de vorige hoofdstukken heb je al dikwijls rechte lijnen getekend. Zulke lijnen noemt men kortweg rechten. Een gedeelte van een rechte noemt men een lijnstuk. ... In bovenstaande figuur zie je links een lijnstuk. Zo'n lijnstuk heeft twee grenspunten en heeft ook een lengte. Die grenspunten kunnen we een naam geven, bijvoorbeeld A en B. ... Een rechte heeft geen grenspunten; zij is onbegrensd. Op een rechte liggen punten. ... Wil men zo'n rechte een naam geven, dan noemt men 2 punten ervan. ... Onthoud goed: Een lijnstuk heeft wel grenspunten. Een rechte heeft geen grenspunten. Zo'n rechte kun je dan ook nooit helemaal tekenen, want hij is onbegrensd. Een halve rechte heeft maar één grenspunt. Aan de ene zijde van een halve rechte heeft men dus een grenspunt; aan de andere zijde is er geen grenspunt, daar loopt de halve rechte onbegrensd door."
Welke overeenkomsten en verschillen zijn er tussen deze tekst en die over de incidentiepostulaten? Een onbelangrijk verschil is het gebruik van het woord rechte in plaats van het moderne lijn. Overeenkomst daarbij is de oneindige lengte van een lijn in onderscheid met de eindige lengte van een lijnstuk, dat in een vertaling van Euclides consequent "linea" heet.
Euclides' eerste postulaat stelt dat: "Elk puntenpaar door 1
lijnstuk
verbonden
wordt".
Zijn tweede postulaat onderkent impliciet ons begrip lijn met: "Een lijnstuk kan onbeperkt verlengd worden".
Zijn tweede postulaat onderkent impliciet ons begrip lijn met: "Een lijnstuk kan onbeperkt verlengd worden".
Samenvoeging van deze twee postulaten levert een modern incidentiepostulaat: "Elk puntenpaar heeft 1 gemeenschappelijke lijn" of "Elk puntenpaar is
incident
met 1 lijn". Bedenk hierbij dat die ene lijn niet uniek is voor een puntenpaar, maar ook met vele andere, niet alle, puntenparen incident is.
Een andere overeenkomst is het gebruik van hoofdletters voor punten, die in combinatie een lijn aanduidt, incident met deze punten. Hierin klinken de eerste twee postulaten van Euclides door.Een opmerkelijk verschil is de toepassing van het begrip grenspunt. Zonder euclides te noemen ontzegt Van Hiele (de hoofdauteur van Van A tot Z) de lijn een grenspunt, overeenkomstig het gebruikelijke "euclidische" standpunt. Het moderne, hyperbolische standpunt is dat elk van beide grenspunten van een lijn een oneindige afstand bezitten t.o.v. elk ander punt op de lijn. In het parabolische grensgeval, waarin met een continue transformatie beide grenspunten in elkaar over zijn gegaan, spreken we van euclidische meetkunde. Vanuit deze bredere hyperbolische visie is de lijn een euclidisch-ruimtelijk element met 1 (versmolten) grenspunt.
Met deze kennis zou ik de aangehaalde tekst uit Van A tot Z kunnen herschrijven (*) als:"Rechten, lijnstuk, halve rechte
In de vorige lessen heb je al dikwijls rechte lijnen getekend. Zulke lijnen noemt men kortweg lijnen. Een gedeelte van een rechte noemt men een lijnstuk. ... In bovenstaande figuur zie je links een lijnstuk. Zo'n lijnstuk heeft twee grenspunten. Die grenspunten kunnen we een naam geven, bijvoorbeeld A en B. ... Op een lijn ligt een oneindige puntenrij, die door uitsluitend
begrensd is
door de richting van de lijn. De richting van een lijn kunnen we wiskundig gezien opvatten als grenspunt van die lijn. De lijn treedt immers niet buiten zijn richting. Wie de logica daarin mist, mag dit voorlopig ook als definitie of postulaat beschouwen.
... Onthoud goed: 1. Een lijnstuk heeft twee grenspunten.
Een lijnstuk is begrensd, al liggen er oneindig veel punten op. 2. Een lijn heeft één grenspunt. Een lijn namelijk is begrensd door zijn richting, al is zijn lengte oneindig. Kromme lijnen gaan, samen met hun punten, in allerlei richtingen. De richting van de rechte lijn begrenst al deze mogelijkheden. 3. Een halve lijn heeft twee grenspunten. Aan de ene zijde van een halve rechte heeft men dus een grenspunt; de halve lijn heeft daarnaast nog een grenspunt, al is de halve lijn oneindig lang, namelijk de richting van de halve lijn."
Bovenstaande tekst is die van een parabolische meetkunde. Het woord parabolisch verwijst naar de opvatting, dat een lijn één enkele richting heeft. De parabool raakt het oneindige in één richting, namelijk die van zijn symmetrie-as. Bij mijn weten is de parabolisch
meetkunde
identiek aan de euclidische. De hyperbool overschrijdt het oneindige in de twee richtingen van de asymptoten.
Het woord hyperbolisch verwijst naar
de opvatting, dat een lijn twee richtingen heeft. Een hyperbolisch-meetkundige formulering (*) zou zijn:
"Onthoud goed: 1. Een lijnstuk heeft twee grenspunten.
Een lijnstuk is begrensd, al liggen er oneindig veel punten op. 2. Een lijn heeft twee grenspunten. Een lijn is begrensd door zijn beide richtingen ofwel grenspunten, al is zijn lengte oneindig. 3. Een halve lijn heeft twee grenspunten. Aan de ene zijde van een halve rechte heeft men dus een grenspunt; de halve lijn heeft daarnaast nog een grenspunt, al is de halve lijn oneindig lang, namelijk de richting van de halve lijn."
Aantal grenspunten van een lijnstuk lijn halve lijnVan A tot Z 2 0 1
Parabolisch 2 1 2
Hyperbolisch 2 2 2
Elliptisch 2 0 n.v.t.
In de elliptische meetkunde ontbreken richtingen en elk lijnenpaar heeft twee snijpunten, omdat grenspunt, evenwijdigheid noch oneindige lengte bestaan en de halve lijn
dan ook niet voorkomt. De halve lijn vooronderstelt de aanwezigheid van een grenspunt. Van A tot Z is een parabolische meetkunde, waarbij de richting van lijn en halve lijn als grenspunt over het hoofd is gezien.
Het bestaan van een richting is volledig afhankelijk van het bestaan van een grenspunt. Het logisch argument hiervoor is dat de richting een bijzonder grenspunt is.
Een laatste verschil is dat Van A tot Z in de voorafgaande lessen het begrip rechte introduceert als meetkundig element, om dan geleidelijk via de thema's functie, afbeelding, grafiek, product-verzameling en relatie de lijn als puntenverzameling
{(x, y)| y = ax + b}
in algebra te verpakken. Maar de lijn als element is net zomin een puntenverzameling, als dat het element punt een lijnenverzameling is. Uit de incidentiepostulaten volgt dat 1 lijn incident is met een puntenrij en dat 1 punt incident is met een lijnenwaaier.
Hieruit volgt weer dat de eerstegraadsvergelijking zowel een puntenrij {(x, y)| 1 = Ax + By} met puntcoördinaten, als een lijnenwaaier {[X, Y]| 1 = aX + bY} met lijncoördinaten is.
(*) Zoals hierboven is beschreven, zijn er meerdere verhalen en waarheden mogelijk, die elk hun eigen wiskundige bestaansrecht en bijbehorende
logica hebben. Een verhaal is logisch, als het consistent is, dat wil zeggen zichzelf niet tegenspreekt en dus vrij is van innerlijke tegenspraak. In het bijzonder is het zo, dat er naast de euclidische (parabolische) ook een hyperbolische
meetkunde mogelijk is. Eeuwenlang werd gedacht dat zoiets niet mogelijk zou zijn en dat het bestaan van de ene de waarheid de andere uitsloot. Dit
onverdraagzame standpunt heeft men in de loop van de negentiende eeuw in de wiskunde verlaten, omdat niet alleen grote denkers, zoals Lobatchevski en Bolyai, maar vooral ook denkers met een gevestigd gezag, zoals Gauss en Riemann de logica van de verschillende vormen van meetkunde konden laten zien. Vervolgens werden nieuwe wegen voor toepassingen geopend, zoals in de natuurkunde waar de "waarheid" van de galilei-transformatie door die van de lorentz-transformatie kan worden vervangen. In dit voorbeeld is de eerste transformatie een limietgeval van de tweede. zoals de euclidische meetkunde een limietgeval van de hyperbolische is.
Een botsing deed zich in het begin van de twintigste eeuw voor bij een verschil van opvatting tussen Bertus Brouwer en David Hilbert. Een korte biografie van beiden staat hieronder in het historische deel. Aanvankelijk leek Hilbert met zijn formalisme als overwinnaar uit de grondslagenstrijd te zijn gekomen en likte Brouwer met zijn intuïtionisme gekwetst zijn wonden.
Lang heeft Hilbert niet mogen genieten van zijn schijnoverwinning. Al in de jaren 1930 wees Kurt Gödel met zijn onvolledigheidsstelling Hilbert's formalisme-paradijs naar het rijk der fabelen. Hilbert's formalisme was eerder niet alleen door Brouwer, maar ook door grote wiskundigen als Felix Klein en Hermann Weyl afgewezen. Na de tweede wereldoorlog hebben het intuïtionisme en constructivisme zich, mede dankzij de inspanningen van Arend Heyting en Erret Bishop blijvend gevestigd. Vóór Brouwer hadden Jules Henri Poincaré, Émile Borel en Henri Lebesque al intuïtionistische opvattingen.
Zowel het formalisme als het intuïtionisme zijn filosofische opvattingen, bedoeld om de wiskunde te ondersteunen met betrouwbare bewijsvoering. Het formalisme ziet af van de inhoud van de gebruikte begrippen binnen een stelsel van postulaten (axioma's, grondstellingen) en beschouwd het stelsel als een formeel verband van op zichzelf betekenisloze begrippen, die hun mogelijke betekenissen vanzelf (impliciet) ontvangen door het verband. Klein hield dit voor onmogelijk. Volgens zijn eigen wiskundige ervaring veralgemenen en ontwikkelen
begrippen zich in interactie met elkaar. Dit proces begint niet met holle woorden, maar met begrippen die al enige betekenis hebben, ook al is die betekenis aanvankelijk mogelijk nog onvolmaakt of naïef. Ongemerkt sluipen fouten de gedachtengang van een bewijspoging binnen en kunnen slechts met een kritische houding, vaardigheid, en toewijding worden opgespoord en verwijderd. Taal en logica zijn daarbij op zich niet voldoende. De gebruikte begrippen moeten zelf al een rekenkundige of ruimtelijke context en inhoud bezitten.
Volgens het
intuïtionisme gebruikt de wiskunde als communicatiemiddel wel taal en logica, maar steunt er niet volledig op en komt los daarvan voort uit een tijd-continuüm-intuïtie (de oerintuïtie). Wiskunde staat op eigen benen.
Brouwer
acht het bewijs uit het ongerijmde (uitgesloten derde) onvoldoende, omdat er naast ware en onware stellingen ook onbewijsbare stellingen kunnen bestaan. Hij eist van een bewijs een mentale constructie; inhoudelijke wiskundeboter bij de woordelijke vis. Brouwer heeft Hilbert niet overtuigd. Hilbert was druk bezig met het dichttimmeren van een wiskundeparadijs, waarnaar Cantor in zijn ogen de weg had gewezen, toen de onvolledigheidsstelling van Gödel in 1931 bewees dat er binnen ieder axiomastelsel dat het getalbegrip omvat, stellingen kunnen voorkomen, die binnen dat stelsel onbeslisbaar zijn en dus ontkend noch bewezen kunnen worden. Naar verluidt moet Hilbert razend zijn geweest.
Of dat ook echt zo gebeurd is? Duidelijk is wel dat het formalisme van de grote wiskundige het stempel van zijn verlangen draagt.
11 jan 2022
Richting en incidentie van een vlak
De ruimte bevat oneindig veel vlakken, verdeeld in parallelle groepen. Parallelle vlakken hebben geen lijn gemeen, maar wel een richting. Afgezien van hun richting zijn ze van elkaar gescheiden. Wat is hier de aard van het begrip
richting? De begrippen richting van een lijn en richting van een vlak zijn zowel overeenkomstig als verschillend. De overeenkomst is dat elementen met dezelfde richting verder geen gemeenschappelijk element bezitten. Dimensioneel gezien is er een verschil.
Twee willekeurige lijnen kunnen door draaiing om hun snijpunt dezelfde richting krijgen en in een dekkende stand worden gebracht. Twee vlakken vragen hiertoe een draaiing om hun snijlijn.
De incidentierelatie van een ruimte is bijvoorbeeld
xX + yY + zZ = 1
Elk punt (x, y, z) van het vlak [X, Y, Z] ≡ [a, b, c] voldoet dan aan de vergelijkingax + by + cz = 1
Dit vlak steunt op de plaatsvectoren (1/a, 0, 0), (0, 1/b, 0) en (0, 0, 1/c). Twee richtingsvectoren van dit vlak zijn de verschilvectoren (-1/a, 1/b, 0) en (0, -1/b, 1/c). Een normaalvector van dit vlak is
(a, b, c)/abc = (1/bc, 1/ca, 1/ab).
Elke nuldimensionale richting binnen dit vlak is incident met het parallelle vlak, dat de puntenverzameling {(x, y)| ax + by + cz = 0} omvat. Dit laatste vlak bevat inderdaad de genoemde richtingsvectoren en elke lineaire combinatie daarvan. De verzameling van al de nuldimensionale richtingen van deze vectoren is incident met de grenslijn van beide parallelle vlakken. Dit incidentieverschijnsel is een model voor het derde subpostulaat van de vlakke parabolische meetkunde:
(1c) Elk paar
nuldimensionale
richtingen is incident met de absolute lijn.
Tenminste één van de positiegetallen van een richting is ∞ en voorkomt zo dat de incidentierelatie met de absolute lijn [0, 0] en het absolute vlak [0, 0, 0] onwaar is:
0
·
∞ = 1 is mogelijk, want 1/0 = ∞
Conclusie: De richting van een lijn is nuldimensionaal. Een
nuldimensionale richting is een punt. De richting van een vlak is eendimensionaal. Een eendimensionale richting is een lijn. 10-02-22
Richting en incidentie van een ruimte
In de wiskunde kan ook worden gewerkt met dimensies hoger dan 3. De voorstelling begint dan te haperen. Dit kan door het denken worden ondervangen met behulp van de veralgemening, die al gevonden kan worden bij de overstap van het parallelbegrip van lijnen naar vlakken.
Zo is een 4-dimensionale "ruimte" denkbaar, die oneindig veel ruimten bevat. Parallelle ruimten hebben geen vlak gemeen, maar wel een richting. Afgezien van hun richting zijn ze van elkaar gescheiden. Wat is hier de aard van het
begrip
richting?
De begrippen richting van een lijn en richting van een ruimte zijn zowel overeenkomstig als verschillend. De overeenkomst is dat elementen met dezelfde richting verder geen gemeenschappelijk element bezitten. Dimensioneel gezien is er een verschil.
Twee willekeurige lijnen kunnen door draaiing om hun snijpunt dezelfde richting krijgen en in een dekkende stand worden gebracht. Twee ruimten vragen hiertoe een draaiing om hun snijvlak.
De voorstelling faalt hierbij. We betreden dan ook de vierdimensionale ruimte. Het denken kan hier niet meer steunen waarneming en voorstelling, maar moet op eigen kracht verder. Wiskunde is dan ook geen natuurwetenschap, maar een geesteswetenschap. Het denken is hierbij aangewezen op veralgemening of een mentale constructie, zoals de lineaire algebra. Zie o.a. Brouwer.
We zien dat de richtingsdimensie 1 lager is dan die van het
ruimtelijk
element, waarop de richting betrekking heeft. Met uitzondering van het punt, bezit elk ruimtelijk element in de parabolische meetkunde een richting ofwel een grenselement. Het begrip parallel punt komt niet voor; de
richting van een punt
ontbreekt. De dimensie van een puntrichting is
immers
-1 en de verzameling van puntrichtingen is dan ook leeg.
Gecentreerde punten komen wel voor, maar dan in de duaal-parabolische meetkunde.
De incidentierelatie van een vierdimensionale 'ruimte' is bijvoorbeeld
xX + yY + zZ + wW = 1
Elk punt (x, y, z, w) van de deelruimte [X, Y, Z, W] ≡ [a, b, c, d] voldoet dan aan de vergelijkingax + by + cz + dw = 1
De deelruimte steunt op de plaatsvectoren (1/a, 0, 0, 0), (0, 1/b, 0, 0), (0, 0, 1/c, 0)
en (0, 0, 0, 1/d). Drie richtingsvectoren van de deelruimte zijn de verschilvectoren (-1/a, 1/b, 0, 0),
(0, -1/b, 1/c, 0)
en (0, 0, -1/c, 1/d). Een normaalvector van de deelruimte is (a, b, c, d)/abcd = (1/bcd, 1/cda, 1/dab, 1/abc).
Elke nuldimensionale richting binnen deze deelruimte is incident met de parallelle deelruimte, die de puntenverzameling {(x, y)| ax + by + cz + dw = 0} omvat. Deze laatste deelruimte bevat inderdaad de genoemde richtingsvectoren en elke lineaire combinatie daarvan. De verzameling van al de nuldimensionale richtingen van deze vectoren is incident met het grensvlak van beide parallelle ruimten. Dit incidentieverschijnsel is een model voor het derde subpostulaat van de ruimtelijke parabolische meetkunde:
(1c) Elk trio
nuldimensionale
richtingen is incident met het absolute vlak.
Tenminste één van de positiegetallen van een richting is ∞ en voorkomt zo dat de incidentierelatie met de absolute lijn [0, 0], het absolute vlak [0, 0, 0] en
de absolute ruimte [0, 0, 0, 0] onwaar is:
0
·
∞ = 1 is mogelijk, want 1/0 = ∞
Conclusie: De richting van een punt komt niet voor. De richting van een lijn is nuldimensionaal.
Een nuldimensionale richting is een punt. De richting van een ruimte is tweedimensionaal. Een tweedimensionale richting is een vlak.
10-02-22