De woorden punt en richting van een lijn zijn 'gelijksoortige' begrippen. Binnen de incidentiepostulaten zijn deze begrippen gelijksoortig. Dit betekent dat ze axiomatisch gezien onder één noemer vallen.
Bijgevolg zijn in de parabolische (=
euclidische) incidentiepostulaten ook de woorden punt en lijn verwisselbaar, zonder dat de incidentiepostulaten als koppel verandert. De begrippen lijn en punt zijn echter niet gelijksoortig ("niet equivalent"), maar wel vlak-axiomatisch gezien symmetrisch (duaal).
(1a) Elk paar punten is incident met 1 lijn.
(1b) Een punt en een richting zijn incident met 1 lijn.
(1c) Elk paar richtingen is incident met de absolute lijn.
Bij postulaat 1c wordt het begrip absolute lijn gebruikt. De absolute lijn laat zich niet visualiseren en steunt voor dit moment volledig (*) op dit postulaat. Je zou eventueel kunnen denken aan een cirkel met oneindige straal, maar die laat zich in dit geval evenmin visualiseren. In het door ons gebruikte volledige coördinaten-stelsel fungeert de oersprong [0, 0] als absolute lijn.
Bovenstaande drie parabolische subpostulaten in acht nemend, breiden we tijdelijk de betekenis van het woord punt zodanig uit dat er zowel punten als richtingen onder vallen. Met een tijdelijk uitgebreid puntbegrip laten de postulaten 1a, 1b en 1c zich samenvatten tot:
(1) Elk paar punten is incident met 1 lijn.
Het vijfde
postulaat van Euclides laat zich interpreteren als de duale tegenhanger van dit eerste
parabolische
incidentiepostulaat:
(2) Elk paar lijnen is incident met 1 punt.
Dit algemeen geformuleerde postulaat omvat 3 subpostulaten, nu weer verwoord met het niet-uitgebreide puntbegrip:
(2a) Elk paar niet-parallelle lijnen is incident met 1 punt.
(2b) Elk paar parallelle lijnen is incident met 1 richting.
(2c) Een lijn en de absolute lijn zijn incident met 1 richting. 7 januari 2022
(*) Onderaan deze webpagina wordt de richting van een vlak onderzocht. Daaruit komt de richting van een vlak als de grenslijn van dat vlak tevoorschijn. Deze grenslijn is de onder subpostulaat (1c) genoemde absolute lijn.
(1a) Elk paar ongerichte lijnen is incident met 1 punt óf 1 richting.
(1b) Een ongerichte en een gerichte lijn zijn incident met 1 punt óf 1 richting.
(1c) Elk paar gerichte lijnen is incident met het absolute punt.
In het door ons gebruikte volledige coördinaten-stelsel fungeert de oorsprong (0, 0) als absoluut punt. Samengevat met een tijdelijk uitgebreid puntbegrip:
(1) Elk lijnen-paar is incident met 1 punt.
Dit eerste duaal-parabolische postulaat stemt overeen met het rweede parabolische postulaat en vertoont qua samenstelling veel overeenkomst met het eerste parabolische postulaat.
Het tweede duaal-parabolische postulaat stemt overeen met het eerste euclidische postulaat en vertoont qua samenstelling veel overeenkomst met het tweede parabolische postulaat en heeft geen uitgebreide puntbegrip nodig:
(2) Elk punten-paar is incident met 1 lijn.
Dit algemeen geformuleerde postulaat omvat 3 subpostulaten:
(2a) Elk paar ongecentreerde punten is incident met 1 ongerichte lijn.
(2b) Elk paar gecentreerde punten is incident met 1 gerichte lijn.
(2c) Een punt en het absolute punt zijn incident met 1 gerichte lijn.
7 januari 2022
(1c) Elk paar grenspunt
is incident met 1 binnenlijn.
Bovenstaande drie hyperbolische subpostulaten in acht nemend, vallen grenspunten (hyperbolische richtingen) nu vanzelf onder het puntbegrip. De postulaten 1a, 1b en 1c zich samenvatten tot:
(1) Elk paar punten is incident met 1 lijn.
Het vijfde hyperbolische postulaat laat zich interpreteren als de duale tegenhanger van het eerste postulaat:
(2) Elk paar lijnen is incident met 1 punt.
Dit algemeen geformuleerde postulaat omvat 3 subpostulaten.
De lijn AA' is samen met zijn op punt P gelegen:
(2a) onderparallelle lijn incident met 1 binnenpunt op AA' (aangegeven in de figuur).
(2b) parallelle lijn incident met 1 grenspunt op AA'
(2c) overparallelle lijn (niet aangegeven in de figuur) incident met 1 (weliswaar buitengesloten/gediskwalificeerd) buitenpunt op AA'.
Het onder (2c) genoemde punt ontbreekt in de
parabolische
meetkunde. Waarom? De conventie gebruikt het woord hyperparallel in plaats van "overparallel", dat hier slechts omwille van overzichtelijkheid en duidelijkheid is gebruikt. Het woord "buitenpunt" is betrekkelijk, gelegen in het zwarte gebied, dus bekeken vanuit het middelpunt van de cirkel.
8 januari 2022
(1a) Elk paar binnenlijnen is incident met 1 binnenpunt.
(1b) Een binnenlijn en een grenslijn zijn incident met 1 binnenpunt.
(1c) Elk paar grenslijnen is incident met 1 binnenpunt.
Samengevat: (1) Elk lijnen-paar is incident met 1 punt.
Dit eerste duaal-hyperbolische postulaat stemt overeen met het tweede hyperbolische postulaat en vertoont qua samenstelling veel overeenkomst met het eerste hyperbolische postulaat.
Het tweede duaal- hyperbolische postulaat stemt overeen met het eerste hyperbolische postulaat en vertoont qua samenstelling veel overeenkomst met het tweede hyperbolische postulaat.
(2) Een punt is samen met elk ander punt incident met 1 lijn.
Dit algemeen geformuleerde postulaat omvat 3 sub-postulaten:
Het punt aa' is samen met zijn op lijn p gelegen:
(2a) ondergecentreerd punt incident met 1 binnenlijn op aa' (aangegeven in de figuur).
(2b) gecentreerd punt incident met 1 grenslijn op aa' .
(2c) overgecentreerd punt (niet aangegeven in de figuur) incident met 1 (weliswaar buitengesloten/gediskwalificeerde) buitenlijn op aa'.
De onder (2c) genoemde elementen ontbreken in de duaal-parabolische meetkunde. Waarom? Het woord "buitenlijn" is betrekkelijk, gelegen in het zwarte gebied, dus bekeken vanuit de absolute middenlijn [0, 0] van de cirkel. Buitenpunten liggen deze keer "in" het zwarte gat. 8 januari 2022