Home Page

Ik hoor het Jaap Molenaar nog zeggen: "Dirk, het werk van de wiskundige gaat van het bijzondere naar het algemene". Jaap was nog hoogleraar aan de Wageningen University en gaf de essentie van zuiver wiskundig onderzoek aan. Het was 2014, als ik me goed herinner, toen we onder meer over dualiteit en Bob van Rootselaar spraken.

Kenmerk van wetenschappelijke ontwikkeling en groei is verbinding en vereniging van deelgebieden door uitbreiding van begripsinhoud door middel inzicht, verkregen uit onderzoek.

Met begripsuitbreiding en -diversiteit heeft de onderwijswereld een haat-liefde-verhouding. Daar werkt men liefst met dichtgetimmerde lesprogramma's, centrale examens en diploma's. Maar ook het wiskunde-onderwijs kan niet zonder didactische uitbreiding en diversificatie van begrippen. Zie hieronder Wansink in zijn Didactische Oriëntatie over de 4 onmisbare hoekbegrippen. Bekend in het basisonderwijs is de uitbreiding van het getalbegrip van telgetal naar stambreuk en verhouding. De uitbreiding naar het negatieve, reële, complexe getal en de vector in de algebra is bekend uit het voortgezet onderwijs. Begripsuitbreiding is essentieel en vraagt didactische timing. De ontwikkeling van het denken van de leerling herhaalt die van van de cultuurhistorie, zoals het embryo de evolutie nadoet. Zie onder meer Van Hiele.

Begripsuitbreiding speelt uiteraard ook in de meetkunde een grote rol. Een voorbeeld daarvan is het begrip (convexe) vierhoek, dat de begrippen vierkant, rechthoek, parallellogram, trapezium, ruit en vlieger omvat. Ook de uitbreiding van vierhoek naar concave ("pijl") en complexe ("vlinder") vierhoek is een voorbeeld van begripsuitbreiding.

Op deze pagina wordt de uitbreiding van het hoekbegrip onderzocht. Dit als illustratie van de vorige pagina, waarin het begrip richting wordt onderzocht en meer inhoud krijgt.

Zoals uitgelegd in het pdf-bestand over 4 hoekbegrippen, kan de schoolwiskunde niet toe met één hoekbegrip. Men hoeft zich er dan ook niet over te verbazen, dat er pogingen (zie b.v. Möbius) zijn gedaan om tot veralgemening te komen. Dit heeft al meer dan 150 jaar geleden het georiënteerde hoek- en afstandbegrip opgeleverd:

∠ABC + ∠CBA = 0
d(A,B) + d(B,A) = 0

Hieronder volgen twee voorbeelden van generalisatie van de ongeoriënteerde hoek naar de georiënteerde in combinatie met de generalisatie van de vierhoek. Dit soort voorbeelden zijn uitstekend geschikt als didactisch middel, waarmee het denken van de leerling kan worden uitgedaagd om in beweging te komen en zelf te ervaren dat en hoe de levende wiskunde door middel van generalisatie verbanden blootlegt en nieuwe wegen opent.

De omtrekshoek

"De omtrekshoek die bij een boog AB hoort is de hoek van een willekeurig ander punt van de cirkel naar beide uiteinden A en B van die boog. Hiernaast zie je een boog AB met een aantal omtrekshoeken erbij getekend. En wat blijkt? De omtrekshoeken van een boog zijn allemaal even groot." Bron: H. Hofstede

Het onderwijs vermijdt hier systematisch bogen AB, die groter zijn dan een halve cirkelomtrek, zonder daar de reden van te geven. Een reden zou kunnen zijn dat men bogen AB wil beperken tot uitspringende hoeken. Toch is daar geen noodzaak toe en bij de koordenvierhoek houdt de bovenstaande bron zich daar zelf niet aan.

Er lijkt een andere reden te zijn. Noemt men het hoekpunt van de omtrekshoek C, dan heten de benen van de hoek AC en BC. Worden deze benen niet als lijnstukken, maar als echte lijnen beschouwd, dan sluiten de moderne lesboeken bij wijze van afspraak de stompe hoek voor als de hoek tussen twee lijnen uit. Deze afspraak sluit met terugwerkende kracht stompe omtrekshoeken uit en vervolgens uitspringende middelpuntshoeken. Deze reden wordt echter niet expliciet gemaakt.

Middelpuntshoek

"De middelpuntshoek van een koorde is dubbel zo groot als de omtrekshoek ervan. Voor het bewijs moet je drie verschillende gevallen bekijken." Bron: H. Hofstede

Opmerkelijk is dat er eigenlijk geen noodzaak is om aan geval-scheiding te doen. Didactisch werkt dit ontmoedigend en is daarom sterk af te raden.

De koordenvierhoek

"Laten we een cirkel nemen met een koordenvierhoek ABCD erin zoals hiernaast. Hiernaast zie je dat de rode boog een omtrekshoek ABC heeft en een middelpunts-hoek AMC die dubbel zo groot is (beiden rood gekleurd).
Maar de blauwe boog heeft omtrekshoek CDA en middelpuntshoek AMC die ook dubbel zo groot is (beiden blauw gekleurd).

De middelpuntshoeken zijn samen 360º dus zijn de omtrekshoeken samen 180º. En die omtrekshoeken zijn samen precies de twee overstaande hoeken van de koordenvierhoek." Bron: H. Hofstede

Hier zien we hoe mooi en didactisch sterk een bewijs wordt door gebruik te maken van de uitspringende hoek en afspraken over scherpe hoeken tussen lijnen achterwege te laten.

Van convex naar complex

De koordenvierhoekstelling en de omtrekshoekstelling laten zich verenigen door de begrippen hoek en vierhoek te generaliseren. De groene vierhoek ABCD is complex ('gevouwen'). De georiënteerde hoeken ABC en ADC zijn gelijk en staan beide op koorde AC. Dit is de omtrekshoekstelling.

De blauwe vierhoek ABCD is convex. De georiënteerde hoeken ABC en ADC zijn gelijk en staan beide op koorde AC. ∠CDA is dus niet alleen het supplement van ∠ADC, maar ook van ∠ABC. Dit is de koordenvierhoekstelling: overstaande hoeken zijn elkaars supplement.

Een algemeen hoekbegrip maakt vereniging van twee stellingen mogelijk , die in de schoolwiskunde apart worden gezien en bewezen. Dit is het eerste voorbeeld van vergroting van wiskundig inzicht en didactisch gemak. Kleinerende afspraken over in- en uitspringende middelpuntshoeken en stompe en scherpe omtrekshoeken kunnen achterwege blijven. De omtrekshoekstelling bestrijkt nu bovendien elke omtrekshoek; niet alleen de scherpe. Ook stompe en scherpe hoeken tussen twee lijnen a en b worden éénduidig onderscheiden met het georiënteerde hoekbegrip; de hoeken ∠(a, b) en ∠(b, a) zijn namelijk elkaars supplement.

Meer hoeken en bogen

In zijn HBS-leerboek der vlakke meetkunde deel III (1926) beschrijft C. van Drooge twee stellingen in paragraaf 14: Het meten van hoeken die binnen of buiten de cirkel liggen door middel van bogen.

Stelling 17. Een hoek, waarvan het hoekpunt buiten de cirkel ligt, is gelijk aan het halve verschil der cirkelbogen, gelegen tussen de beide benen van de hoek:

2∠APB = 2∠DPC = bgAB + bgDC = bgAB - bgCD

De bijbehorende vierhoek ABCD is convex. (Blauwe C en D moeten nog op hun juiste plek gezet worden !!!)

Stelling 16. Een hoek, waarvan het hoekpunt binnen de cirkel ligt, is gelijk aan de halve som der cirkelbogen, gelegen tussen de beide benen van de hoek:

2∠APB = 2∠DPC = bgAB + bgDC

De bijbehorende vierhoek ABCD is complex.

Met behulp van het algemene hoekbegrip en de algemene vierhoek worden ook deze stellingen verenigd.

In het overgangsgeval ligt punt P op de cirkel en is ∠APB een omtrekshoek:

2∠APB = bgAB

We zien hier dat ook stelling 16&17 een algemene versie van de omtrekshoekstelling is. Onthouden en reconstrueren van dergelijke stellingen is veel eenvoudiger met algemene begrippen vanuit een onderling verband, dan als los zand.

Een grote generalisatiestap kunnen we maken door het hoekbegrip uit te breiden naar het begrip afstand. We betreden dan het terrein van de dualiteit, waar we eigenlijk ook al in terecht kwamen door de georiënteerde hoek te gebruiken. Over dat laatste later meer.

De convexe koordenvierzijde

Van de om een cirkel geschreven vierzijde abcd , zegt men wel dat hij door de cirkel ingeschreven is. Deze vierzijde kan niet alleen als een raaklijnenvierzijde worden opgevat, maar ook als de duale versie van een koordenvierhoek ABCD. De zijden van abcd zijn raaklijnen (*) van de cirkel, terwijl de hoeken van ABCD de raakpunten zijn, die samen een in de cirkel ingeschreven vierhoek vormen.

Terwijl voor de convexe koordenvierhoek geldt ∠A + ∠C = ∠B + ∠D (1)
geldt voor de convexe raaklijnenvierzijde a + c = b + d (2)

Nu is het niet ver gezocht om te denken dat er wel eens een relatie tussen hoek en afstand zou kunnen bestaan.

(*) Didactische opmerking is dat hier het begrip raaklijn valt, zonder gebruik van differentiaalrekening. Bij kegelsneden is het raaklijnbegrip een specialisatie van het begrip polariteit. Polariteit is een bijectie tussen ruimte en coruimte. Het coruimtebegrip is terug te voeren op dualiteit binnen de incidentiepostulaten. Differentieren is heen en weer stappen tussen ruimte in coruimte.

De complexe koordenvierzijde

De gebruikelijke ongeoriënteerde hoeken en afstanden leiden tot twee verbanden, die hier afwijken van convexe toestand:

Terwijl voor de complexe koordenvierhoek geldt ∠A - ∠C = ∠B - ∠D (3)
geldt voor de complexe raaklijnenvierzijde a - c = b - d (4)

Gebruik van de georiënteerde afstand en hoek verenigt de convexe en complexe situatie:

Terwijl voor de algemene koordenvierhoek geldt
(3) ∠ABC - ∠ADC = ∠BCD - ∠BAC = 0 ofwel

(1+2) ∠ABC + ∠CDA = ∠BCD + ∠CAB = 0 (modulo π)

geldt voor de algemene raaklijnenvierzijde

(2) d(ab,bc) + d(cd,da) = d(da,ab) + d(bc,cd) ofwel

(2+4) d(ab,bc) - d(ad,dc) = d(da,ab) - d(dc,cb)

ionawiskunde

Generalisatie

Inleidende opmerking

Generalisatie van het hoekbegrip